湘教版（2019）必修第一冊(cè)4.2 指數(shù)函數(shù)第二課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第二課時(shí)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課) 指數(shù)式的大小比較[例1]　(鏈接教科書第108頁例4)比較下列各組數(shù)的大?。?/span>(1)1.52.5和1.53.2；(2)與；(3)1.50.3和0.81.2.[解]　(1)∵函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)指數(shù)函數(shù)y＝與y＝的圖象(如圖)，由圖知>.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.比較指數(shù)冪大小的3種類型及處理方法　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/span>(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)1.70.3，0.93.1；(3)a0.5與a0.6(a>0且a≠1)．解：(1)∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是減函數(shù)．∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，而0.8－0.2＝＝1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.(3)a0.5與a0.6可看做指數(shù)函數(shù)y＝ax的兩個(gè)函數(shù)值．當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)．∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6.當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝ax在R上是增函數(shù)．∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6.綜上所述，當(dāng)0<a<1時(shí)，a0.5>a0.6；當(dāng)a>1時(shí)，a0.5<a0.6.解指數(shù)型不等式或方程[例2]　求解下列不等式：(1)已知3x≥，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范圍．[解]　(1)因?yàn)?/span>＝30.5，所以由3x≥可得：3x≥30.5，因?yàn)?/span>y＝3x為增函數(shù)，故x≥0.5.(2)①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝ax是減函數(shù)，則由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，則由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞－；當(dāng)a＞1時(shí)，x＜－.1．指數(shù)型不等式的解法(1)指數(shù)型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＞g(x)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)＜g(x)．(2)如果不等式的形式不是同底指數(shù)式的形式，要首先進(jìn)行變形將不等式兩邊的底數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，此時(shí)常用到以下結(jié)論：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝(a＞0，且a≠1)等．2．指數(shù)方程的求解方法(1)同底法：形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程，化為f(x)＝g(x)求解；(2)換元法：形如a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且a≠1)的方程，用換元法求解，求解時(shí)應(yīng)特別注意ax>0.　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．方程81×32x＝的解為________．解析：∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，∴2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.答案：－22．設(shè)0<a<1，則關(guān)于x的不等式a2x2－7x＋3>1的解集為________．解析：因?yàn)?/span>0<a<1，不等式a2x2－7x＋3>1＝a0變?yōu)?/span>2x2－7x＋3<0，解得<x<3.答案：指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性[例3]　判斷f(x)＝的單調(diào)性，并求其值域．[解]　令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)?/span>y＝.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在(1，＋∞)上遞增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上遞減，∴y＝在(－∞，1]上遞增，在(1，＋∞)上遞減．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝，u∈[－1，＋∞)，∴0＜≤＝3，∴原函數(shù)的值域?yàn)?/span>(0，3]．函數(shù)y＝af(x)(a＞0，a≠1)的單調(diào)性的處理技巧(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性由以下兩點(diǎn)所決定，一是底數(shù)a＞1還是0＜a＜1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成；(2)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)區(qū)間．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．畫出函數(shù)y＝2－|x|的圖象，并根據(jù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：y＝2－|x|＝的圖象如圖所示．由圖象可得函數(shù)y＝2－|x|的單調(diào)遞增區(qū)間為(－ ∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)．2．函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．解：①若a>1，則f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為a2，最小值為a.所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．②若0<a<1，則f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，最大值為a，最小值為a2.所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)．綜上所述，a的值為或.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例4]　已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝a＋是奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性(不需要寫出理由)；(3)若對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解]　(1)∵f(x)的定義域?yàn)?/span>R，且f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上為減函數(shù)．(3)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化為f(t2－2t)<f(k－2t2)．由(2)知f(x)在R上單調(diào)遞減，∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0對(duì)于一切t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，∴k的取值范圍是.解決指數(shù)函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的注意點(diǎn)(1)注意代數(shù)式的變形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等變形技巧；(2)解答函數(shù)問題注意應(yīng)在函數(shù)定義域內(nèi)進(jìn)行；(3)由于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與底數(shù)有關(guān)，因此要注意是否需要討論．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]已知函數(shù)f(x)＝·x3.(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)證明：f(x)>0.解：(1)由題意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定義域?yàn)?/span>(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．令g(x)＝＋＝，φ(x)＝x3，則f(x)＝g(x)·φ(x)．∵g(－x)＝＝＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，∴f(x)＝·x3為偶函數(shù)．(3)證明：當(dāng)x>0時(shí)，2x>1，∴2x－1>0，∴＋>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，知當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0也成立．故對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.1．若函數(shù)f(x)＝(1－2a)x在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A.　　　　　　 B．C. D．解析：選B　由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2．設(shè)a＝，b＝，c＝2，則(　　)A．c<b<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b解析：選C　由于指數(shù)函數(shù)y＝2x為R上的增函數(shù)，a＝＝20.2<2＝c，冪函數(shù)y＝x0.2為(0，＋∞)上的增函數(shù)，則a＝＝20.2>＝b.因此，b<a<c.故選C.3．函數(shù)y＝的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，1)解析：選A　由已知得，f(x)的定義域?yàn)?/span>R.設(shè)u＝1－x，則y＝.因?yàn)?/span>u＝1－x在R上為減函數(shù)，又因?yàn)?/span>y＝在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以y＝在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故選A.4．不等式52>5x＋1的解集是________．解析：由52>5x＋1得2x2>x＋1，解得x<－或x>1.答案：∪(1，＋∞)

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