高中數(shù)學湘教版（2019）必修第一冊第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1 函數(shù)學案-學案下載-教習網(wǎng)

3.1.2　表示函數(shù)的方法新課程標準解讀核心素養(yǎng)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?/span>(如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用數(shù)學抽象、直觀想象 (1)已建成的京滬高速鐵路總長約1 318 km，設計速度目標值為380 km/h.若京滬高速鐵路時速按300 km/h計算，火車行駛x h后，路程為y km，則y是x的函數(shù)，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數(shù)的解析式；(2)如圖是我國人口出生率變化曲線：(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表：污染源距離50100200300500氰化物濃度0.6780.3980.1210.050.01 [問題]　根據(jù)初中所學知識，說出上述分別是用什么法表示函數(shù)的？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　函數(shù)的表示方法1．函數(shù)的解析式：把常量和表示自變量的字母用一系列運算符號連接起來得到的式子，叫作解析式．2．函數(shù)的表示法函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點比較　　　　 1．函數(shù)y＝f(x)的關系如下表，則f(11)＝(　　)x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345 A．2　　　　　　　　　 B．3C．4 D．5答案：C　2.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中點A，B的坐標分別為(0，3)，(3，0)，則f(f(0))＝(　　)A．2 B．4C．0 D．3答案：C　3．若反比例函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－6，則f(x)的解析式為________．答案：f(x)＝－知識點二　函數(shù)的圖象1．將自變量的一個值x0作為橫坐標，相應的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點(x0，f(x0))．當自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點．所有這些點組成的集合(點集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象．2．作圖、識圖與用圖(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點作圖，其步驟是列表、描點、連線；(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，開口方向由a值符號決定，a>0，圖象開口向上，a<0時，圖象開口向下，對稱軸為x＝－.1．函數(shù)的圖象是由一系列點形成的點集，故函數(shù)的圖象可以是一條完整的曲線，也可能是某條曲線的一部分，也可能是幾段曲線組成或是幾個孤立的點．因此作函數(shù)的圖象尤其需要關注函數(shù)的定義域．2．函數(shù)圖象上每一點的縱坐標y＝f(x0)，即橫坐標為x0時的相應函數(shù)值．3．每一個函數(shù)都有其相應的圖象，但并不是每一個圖象都能表示一個函數(shù)．　　　　函數(shù)的圖象是否可以關于x軸對稱？提示：不可以，如果關于x軸對稱，則在定義域內(nèi)一定存在一個自變量x0，有兩個值和x0相對應，不符合函數(shù)的定義．1．某學生離家去學校，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則較符合該學生走法的是(　　)解析：選D　由題意可知，一開始速度較快，后來速度變慢，所以開始曲線比較陡峭，后來曲線比較平緩，又縱軸表示離校的距離，所以開始時距離最大，最后距離為0.2.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f的值等于(　　)A．0　　　　　　 B．1C．2 D．3解析：選C　由題意知，f(3)＝1，所以f ＝f(1)＝2.3．函數(shù)y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的圖象是________．(填序號)解析：由題意知，函數(shù)的定義域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函數(shù)的圖象是三個點，故③正確．答案：③函數(shù)的表示法[例1]　(鏈接教科書第68頁例3)某問答游戲的規(guī)則是：共答5道選擇題，基礎分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分．試分別用列表法、圖象法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0，1，2，3，4，5})之間的函數(shù)關系y＝f(x)．[解]　(1)用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為x012345y50403020100 (2)用圖象法可將函數(shù)y＝f(x)表示為(3)用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}．1．函數(shù)的三種表示法的選擇解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對應關系．采用解析法的前提是變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數(shù)的變化規(guī)律清晰，采用列表法的前提是定義域內(nèi)自變量的個數(shù)較少．2．用三種表示法表示函數(shù)時的注意點(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；(2)列表法必須羅列出所有的自變量的值與函數(shù)值的對應關系；(3)圖象法必須清楚函數(shù)圖象是“點”還是“線”．　　　　 [跟蹤訓練]1．如圖是反映某市某一天的溫度隨時間變化情況的圖象．由圖象可知，下列說法中錯誤的是(　　)A．這天15時的溫度最高B．這天3時的溫度最低C．這天的最高溫度與最低溫度相差13 ℃D．這天21時的溫度是30 ℃解析：選C　這天的最高溫度與最低溫度相差為36－22＝14(℃)，故C錯誤．2．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出． x123f(x)211 x123g(x)321 則f(g(1))的值為_______；當g(f(x))＝2時，x＝_______．解析：由于函數(shù)關系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1　1函數(shù)圖象的作法及應用[例2]　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域：(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)．[解]　(1)當x∈[0，2]時，圖象是直線y＝2x＋1的一部分，如圖①，觀察圖象可知，其值域為[1，5]．(2)當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分，如圖②，觀察圖象可知其值域為(0，1]．描點法作函數(shù)圖象的三個關注點(1)畫函數(shù)圖象時首先關注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖；(2)圖象是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；(3)要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心圈．[注意]　函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等．　　　　 [跟蹤訓練]已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)畫出f(x)圖象的簡圖；(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域．解：(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示．(2)觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點的縱坐標的取值范圍是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]．函數(shù)解析式的求法角度一　用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式[例3]　已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．[解]　設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，∴∴∴f(x)＝x2－2x－1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式已知函數(shù)的類型，如是一次函數(shù)、二次函數(shù)等，即可設出f(x)的解析式，再根據(jù)條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式．　　　　角度二　用換元法(配湊法)求函數(shù)解析式[例4]　求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)．[解]　(1)法一(換元法)：令t＝＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．法二(配湊法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.因為＋1≥1，所以f(x)的解析式為f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)因為f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，所以f(x)＝2x－1.換元法、配湊法求函數(shù)解析式已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，有兩種方法：(1)換元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個含t的解析式，再用x替換t，便得到f(x)的解析式．利用換元法解題時，換元后要確定新元t的取值范圍，即函數(shù)f(x)的定義域；(2)配湊法，即從f(g(x))的解析式中配湊出g(x)，用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可．　　　　角度三　用方程組法求函數(shù)解析式[例5]　已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)的解析式．[解]　在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代換x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，則消去f(－x)，可得f(x)＝x－1.方程組法求函數(shù)解析式方程組法(消去法)，適用于自變量具有對稱規(guī)律的函數(shù)表達式，如互為相反數(shù)的f(－x)，f(x)的函數(shù)方程，通過對稱規(guī)律再構(gòu)造一個關于f(－x)，f(x)的方程，聯(lián)立解出f(x)．　　　　 [跟蹤訓練]1．(2021·三明一中高一月考)已知一次函數(shù)f(x)滿足f(－1)＝0，f(0)＝－2，則f(x)的解析式為(　　)A．f(x)＝2x＋2　　　　　 B．f(x)＝－2x－2C．f(x)＝2x－2 D．f(x)＝－2x＋2解析：選B　設一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，依題意得解得k＝b＝－2，所以f(x)＝－2x－2.故選B.2．已知f＝＋，求f(x)的解析式．解：令t＝＝＋1，則x＝(t≠1)，把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1(t≠1)，∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．1．已知函數(shù)y＝f(x)的對應關系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則f(g(2))的值為(　　)A．3　　　 B．2　　　　C．1　　　 D．0解析：選B　由函數(shù)y＝g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.2．已知函數(shù)f(x)＝x－，且此函數(shù)圖象過點(5，4)，則實數(shù)m的值為________．解析：將點(5，4)代入f(x)＝x－，得m＝5.答案：53．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．解：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以解得所以f(x)＝x2＋1.

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