高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊4.3 對數(shù)函數(shù)第二課時學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第二課時　對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(習(xí)題課)對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性角度一　比較對數(shù)值的大小[例1]　(鏈接教科書第119頁例11)比較下列各組中兩個值的大小：(1)ln 0.3，ln 2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.[解]　(1)因為函數(shù)y＝ln x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.(2)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2. 綜上所述，當(dāng)a＞1時，loga3.1＜loga5.2；當(dāng)0＜a＜1時，loga3.1＞loga5.2.(3)因為0＞log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.(4)因為函數(shù)y＝log3x是增函數(shù)，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.比較對數(shù)值大小時常用的4種方法(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較；(2)若底數(shù)為同一字母，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較，也可以利用順時針方向底數(shù)增大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較；(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1，0等中間量進(jìn)行比較．　　　　角度二　求解對數(shù)不等式[例2]　解不等式：(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)．[解]　(1)原不等式等價于解得＜x≤3.所以不等式的解集為.(2)原不等式化為loga(x－4)＞loga(2x－1)．當(dāng)a＞1時，不等式等價于無解．當(dāng)0＜a＜1時，不等式等價于解得x＞4.綜上可知，當(dāng)a＞1時，解集為?；當(dāng)0＜a＜1時，解集為{x|x＞4}．常見對數(shù)不等式的2種解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論；(2)形如logax＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．　　　　角度三　求對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例3]　求函數(shù)f(x)＝log(x2－2x－3)的單調(diào)區(qū)間．[解]　設(shè)t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，由于 t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，又y＝logt在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，因而函數(shù)f(x)＝log(x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(3，＋∞)．1．解決對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時，則應(yīng)對底數(shù)是否大于1進(jìn)行討論；二是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則來判斷其單調(diào)性；三是要注意其定義域．2．對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類：一類是對數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)型；另一類是對數(shù)函數(shù)為內(nèi)函數(shù)，即y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)型．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則(　　)A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：選D　∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.故選D.2．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以2a－3＞1，解得a＞2.答案：(2，＋∞) 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例4]　已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．(1)當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[解]　(1)∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，∴當(dāng)x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a.∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a的取值范圍為(0，1)∪.(2)令t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù)．∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1.當(dāng)x∈[1，2]時，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)，∴即故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.1．對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用注意以下3點(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0，1)，還是a∈(1，＋∞)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤．　　　　 2．形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性，首先要確保f(x)>0，(1)當(dāng)a>1時，y＝logaf(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y＝f(x)的單調(diào)性一致；(2)當(dāng)0<a<1時，y＝logaf(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y＝f(x)的單調(diào)性相反．[跟蹤訓(xùn)練](2021·東臺中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)要使此函數(shù)有意義，則有或解得x>1或x<－1，故此函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由(1)可得f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．∵f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．f(x)＝loga＝loga，函數(shù)u＝1＋在區(qū)間(－∞，－1)和區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)a>1時，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增.對數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用[例5]　某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%進(jìn)行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進(jìn)行獎勵．記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．(1)寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的解析式；(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？[解]　(1)由題意知y＝(2)由題意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.∴老江的銷售利潤是34萬元．實際問題中對數(shù)函數(shù)模型要建模準(zhǔn)確，計算時充分利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，注意變量的實際意義．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]某種動物的數(shù)量y(單位：只)與時間x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動物第1年有100只，則第7年它們的數(shù)量為(　　)A．300只　　　　　 B．400只C．500只 D．600只解析：選A　由題意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，則當(dāng)x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題對數(shù)函數(shù)本身不具有奇偶性，但有些函數(shù)與對數(shù)函數(shù)復(fù)合后，得到的對數(shù)型復(fù)合函數(shù)就具有奇偶性了，如y＝log2|x|就是偶函數(shù)．一般利用函數(shù)奇偶性的定義，并結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來判斷這類函數(shù)的奇偶性．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)進(jìn)行化簡，或利用定義的等價形式進(jìn)行判斷：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)．其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于對數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷，＝±1多用于指數(shù)型函數(shù)奇偶性的判斷．[問題探究]1．已知函數(shù)f(x)＝log2(＋x)，試判斷其奇偶性．提示：由f(x)知x∈R，又f(－x)＋f(x)＝log2(－x)＋log2(＋x)＝log21＝0.∴f(x)為奇函數(shù)．2．探究1中函數(shù)若變?yōu)?/span>f(x)＝log2(－x)，f(x)還是奇函數(shù)嗎？提示：是．3．若給出f(x)＝log2，其奇偶性怎樣？提示：由>0知－1<x<1，其定義域關(guān)于原點對稱，又f(－x)＋f(x)＝log2 ＋log2 ＝log21＝0.∴f(x)為奇函數(shù)．4．探究3中函數(shù)若變?yōu)?/span>f(x)＝loga(a>0，且m≠0)，其奇偶性又怎樣？提示：奇函數(shù)．[遷移應(yīng)用]已知函數(shù)f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________．解析：∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴f(a)＋f(－a)＝2.∵f(a)＝4，∴f(－a)＝－2.答案：－21．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，則(　　)A．a＞b＞c　　　　　　　 B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞a＞b解析：選A　因為a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c，故選A.2．若lg(2x－4)≤1，則x的取值范圍是(　　)A．(－∞，7] B．(2，7]C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)解析：選B　∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范圍是(2，7]，故選B.3．設(shè)a＞1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a＝(　　)A. B．2C．2 D．4解析：選D　因為a＞1，所以y＝logax在[a，2a]上是增函數(shù)．所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.4．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：因為y＝log5x與y＝2x＋1均為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)是其定義域上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是.答案：5．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集為__________．解析：因為函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以解得－2＜x＜1.答案：(－2，1)

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