2．1.3　基本不等式的應(yīng)用最新課程標準結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題．學(xué)科核心素養(yǎng)會用基本不等式解決實際問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算) 教材要點要點　基本不等式與最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時，和x＋y有________；(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時，積xy有________． 狀元隨筆　利用基本不等式求最值要牢記三個關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等．(1)一正：各項必須為正．(2)二定：各項之和或各項之積為定值．(3)三相等：必須驗證取等號時條件是否具備．   題型1　利用基本不等式求最值例1　(1)已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝4，求的最小值．(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．         方法歸納應(yīng)用基本不等式解此類題的關(guān)鍵是“1”的整體代入的變形技巧．跟蹤訓(xùn)練1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，則的最小值為(　　)A．2    B．2C．4    D．3(2)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________.題型2　利用基本不等式解決恒成立問題例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，則m的最大值等于(　　)A．10    B．9C．8    D．7方法歸納恒成立問題常采用分離參數(shù)的方法求解，若a≤y恒成立，則a≤ymin；若a≥y恒成立，則a≥ymax.將問題轉(zhuǎn)化為求y的最值問題，可能會用到基本不等式．跟蹤訓(xùn)練2　已知兩個正數(shù)x，y滿足x＋y＝4，則使不等式≥m恒成立的實數(shù)m的范圍是________．題型2　利用基本不等式解決實際問題例3　某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費用為x萬元時，銷售量P萬件滿足P＝3－(其中0≤x≤2)．現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品P萬件還需投入成本(10＋2P)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為(4＋)萬元/萬件．(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；(2)當(dāng)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．           方法歸納利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．跟蹤訓(xùn)練3　2016年11月3日20點43分我國長征運載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射，它被公認為我國已從航天大國向航天強國邁進的重要標志．長征五號運載火箭的設(shè)計生產(chǎn)采用了很多新材料，甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10)，每小時可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時，消耗A材料10千克．(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)．(2)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A材料最少為多少？(消耗的A材料＝生產(chǎn)時間×每小時消耗的A材料．)                  易錯辨析　多次使用基本不等式求最值時忽略等號同時成立的條件例4　已知實數(shù)m>0，n>0，且滿足2m＋n＝2，則的最小值是________．解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝，n＝時取等號．答案：9易錯警示易錯原因糾錯心得錯解：∵m>0，n>0，∴2＝2m＋n≥2，∴mn≤，∴≥2，∴≥2≥2＝8故的最小值為8.上述求解過程中使用了兩次基本不等式，但這兩次取等號的條件不能同時成立，所以等號取不到．連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜?/span>，直到取到等號的條件成立．課堂十分鐘1．若正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．    B．2    C．5    D．42．當(dāng)x＞1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．{a|a≤2}    B．{a|a≥2}    C．{a|a≥3}    D．{a|a≤3}3．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　)A．60件    B．80件    C．100件    D．120件4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.5．某呼吸機生產(chǎn)企業(yè)計劃投資固定成本500萬元引進先進設(shè)備，用于生產(chǎn)救治新冠患者的無創(chuàng)呼吸機，需要投入成本f(x)(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：百臺)的函數(shù)關(guān)系式為f(x)＝，據(jù)以往出口市場價格，每臺呼吸機的售價為3萬元，且依據(jù)國外疫情情況，預(yù)測該年度生產(chǎn)的無創(chuàng)呼吸機能全部售完．(1)求年利潤g(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式(利潤＝銷售額－投入成本－固定成本)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤．       2．1.3　基本不等式的應(yīng)用新知初探·課前預(yù)習(xí)要點　最小值2　最大值題型探究·課堂解透例1　解析：(1)＝·＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝4－4，y＝8－4時取等號．(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1＋，y＝2＋時取等號．跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)a＝3b時等號成立，所以的最小值為4.(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2，y＝1時取等號．答案：(1)C　(2)5例2　解析：∵a＞0，b＞0∴等價于(2a＋b)≥m又＝5＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時取等號．∴m≤9.故選B.答案：B跟蹤訓(xùn)練2　解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.當(dāng)＝即x＝，y＝時取等號，∴的最小值是.∴m≤.答案：m≤例3　解析：(1)當(dāng)促銷費用為x萬元時，付出的成本是：x＋10＋2銷售收入是：，故y＝×(4＋)－整理可得y＝16－，0≤x≤2.(2)根據(jù)(1)中所求，y＝16－≤16－(2－1)＝16－3＝13，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取得最大值．故當(dāng)促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，最大利潤為13萬元．跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)由題意，得k＋9＝10，即k＝1.生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品需要的時間是.所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.(2)由(1)知，生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為：y＝1 000≥1 000×2＝6 000(當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝3時等號成立)故工廠應(yīng)選取3千克/時的生產(chǎn)速度，消耗的A材料最少，最少為6 000千克．[課堂十分鐘]1．解析：因為正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，所以＝＝＋3≥2＋3＝5，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3a＝時，取等號，所以的最小值為5.故選C.答案：C2．解析：∵當(dāng)x>1時，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋對一切實數(shù)x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故選D.答案：D3．解析：設(shè)每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得y＝≥2＝20.當(dāng)且僅當(dāng)＝(x>0)，即x＝80時“＝”成立．故選B.答案：B4．解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝，即x＝時等號成立，此時y取得最小值4.又由已知x＝3時，y的最小值為4，所以＝3，即a＝36.答案：365．解析：(1)當(dāng)0<x<20時，g(x)＝300x－(5x2＋150x)－500＝－5x2＋150x－500；當(dāng)x≥20時，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.所以g(x)＝ (2)當(dāng)0<x<20時，g(x)＝－5x2＋150x－500＝－5×(x－15)2＋625，故當(dāng)x＝15時，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；當(dāng)x≥20時，∵x＋≥2＝160，當(dāng)且僅當(dāng)“x＝”，即“x＝80”時等號成立，∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，即當(dāng)x＝80時，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，綜上所述：當(dāng)年產(chǎn)量為8000臺時，年利潤最大，且最大年利潤為1040萬元． 

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

2.1 相等關(guān)系與不等關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第一冊

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