2．1 相等關(guān)系與不等關(guān)系
2．1.1 等式與不等式
第1課時(shí) 等式與不等式(1)
教材要點(diǎn)
要點(diǎn)一 不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換
狀元隨筆 不等式a≥b或a≤b的含義
(1)不等式a≥b含義是指“a＞b, 或者a＝b”，等價(jià)于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≥b正確．
(2)不等式a≤b含義是指“a＜b，或者a＝b”，等價(jià)于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一個(gè)正確，則a≤b正確．
要點(diǎn)二 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)
1．文字?jǐn)⑹?br>如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符號(hào)表示
a－b＞0?a________b；
a－b＝0?a________b；
a－b＜0?a________b.
狀元隨筆 比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無(wú)關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式、通分等．
基礎(chǔ)自測(cè)
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關(guān)系中的一種．( )
(2)若ab＞1，則a＞b.( )
(3)a與b的差是非負(fù)實(shí)數(shù)，可表示為a－b＞0.( )
(4)因?yàn)?a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.( )
2．某路段豎立的的警示牌，是指示司機(jī)通過(guò)該路段時(shí)，車(chē)速v km/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為( )
A．v＜60 B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
3．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．與x有關(guān)
4．已知x＜1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系是________．
題型1 用不等式(組)表示不等關(guān)系
例1 (1)某車(chē)工計(jì)劃在15天里加工零件408個(gè)，最初三天中，每天加工24個(gè)，則以后平均每天至少需加工多少個(gè)，才能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)超額完成任務(wù)？求解此問(wèn)題需要構(gòu)建的不等關(guān)系為_(kāi)_______．
(2)某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4 000 mm的鋼管截成500 mm和600 mm的兩種鋼管．按照生產(chǎn)的要求，600 mm的鋼管數(shù)量不能超過(guò)500 mm鋼管的3倍．怎樣寫(xiě)出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組呢？
方法歸納
用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟
(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、大于等．
(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量．
(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式．
此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的隱性不等關(guān)系，如由變量的實(shí)際意義限制的范圍．
跟蹤訓(xùn)練1 (1) 中國(guó)“神舟七號(hào)”宇宙飛船的飛行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示為_(kāi)___________．
(2)已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：
設(shè)用甲、乙兩種食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56 000單位維生素A和63 000單位維生素B.
試用不等式表示x，y所滿足的不等關(guān)系．
題型2 實(shí)數(shù)(式)的比較大小
例2 已知a＞0，試比較a與1a的大?。?br>方法歸納
用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p與q的大小關(guān)系為( )
A．p＞q B．p≥q
C．p＜q D．p≤q
(2)已知b＞a＞0，m＞0，比較b+ma+m與ba的大小．
題型3 不等關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用
例3 2021年5月1日某單位職工去瞻仰毛澤東紀(jì)念館需包車(chē)前往．甲車(chē)隊(duì)說(shuō)：“如果領(lǐng)隊(duì)買(mǎi)全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”，乙車(chē)隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠．”這兩車(chē)隊(duì)的原價(jià)、車(chē)型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車(chē)隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．
方法歸納
現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成不等關(guān)系，利用作差法比較大小，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題．
跟蹤訓(xùn)練3 甲、乙兩家飯館的老板一同去超市購(gòu)買(mǎi)兩次大米，這兩次大米的價(jià)格不同，兩家飯館老板購(gòu)買(mǎi)的方式也不同，其中甲每次購(gòu)進(jìn)100千克大米，而乙每次用去100元錢(qián)．問(wèn)：誰(shuí)的購(gòu)買(mǎi)方式更合算？
課堂十分鐘
1．(多選)下列說(shuō)法正確的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示為“x＜2 000”
B．小明的身高x cm，小華的身高y cm，則小明比小華矮表示為“x＞y”
C．某變量x至少為a可表示為“x≥a”
D．某變量y不超過(guò)a可表示為“y≤a”
2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，則m與n的大小關(guān)系是( )
A．m＜n B．m＞n
C．m≥n D．m≤n
3．某學(xué)校為高一3班男生分配宿舍，如果每個(gè)宿舍安排3人，就會(huì)有6名男生沒(méi)有宿舍住，如果每個(gè)宿舍安排5人，有一間宿舍不到5名男生，那么該學(xué)校高一3班的男生宿舍可能的房間數(shù)量是( )
A．3或4 B．4或5
C．3或5 D．4或6
4．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關(guān)系是____________．
5．糖水在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水．下列關(guān)于糖水濃度的問(wèn)題，能提煉出一個(gè)怎樣的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加點(diǎn)糖，糖水變甜了；
(2)把原來(lái)的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡．
第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式
2．1 相等關(guān)系與不等關(guān)系
2．1.1 等式與不等式
第1課時(shí) 等式與不等式(1)
要點(diǎn)二
1．正數(shù) 等于0 負(fù)數(shù)
2．> ＝ 0，所以M>N.故選A.
答案：A
4．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)，
又x＜1，∴x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2＞3x.
答案：x2＋2＞3x
題型探究·課堂解透
例1 解析：(1)設(shè)該車(chē)工3天后平均每天需加工x個(gè)零件，加工(15－3)天共加工12x個(gè)零件，15天里共加工(3×24＋12x)個(gè)零件，則3×24＋12x＞408.故不等關(guān)系表示為72＋12x＞408.
(2)設(shè)截得500 mm的鋼管x根，截得600 mm的鋼管y根．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：①截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不超過(guò)4 000 mm.②截得600 mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500 mm鋼管數(shù)量的3倍．③截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)．要同時(shí)滿足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：
500x+600y≤4 000，3x≥y，x≥0，y≥0，x∈N+，y∈N+.
答案：(1)72＋12x＞408 (2)見(jiàn)解析
跟蹤訓(xùn)練1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示為：7.9≤v＜11.2.
(2)x kg甲種食物含有維生素A 600x單位，含有維生素B 800x單位，y kg乙種食物含有維生素A 700y單位，含有維生素B 400y單位，則x kg甲種食物與y kg乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x＋700y)單位，含有維生素B(800x＋400y)單位，則有600x+700y≥56 000，800x+400y≥63 000，x≥0，y≥0，即6x+7y≥560，4x+2y≥315，x≥0，y≥0.
答案：(1)7.9≤v＜11.2 (2)見(jiàn)解析
例2 解析：因?yàn)閍－1a＝a2-1a
＝a-1a+1a，a＞0
所以當(dāng)a＞1時(shí)，a-1a+1a＞0，有a＞1a；
當(dāng)a＝1時(shí)，a-1a+1a＝0，有a＝1a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1a+1a＜0，有a＜1a.
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，a＞1a；
當(dāng)a＝1時(shí)，a＝1a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜1a.
跟蹤訓(xùn)練2 解析：(1)由題意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－10，∴a－b0，∴ma-baa+m＜0，∴b+ma+m＜ba.
答案：(1)C (2)見(jiàn)解析
例3 解析：設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車(chē)隊(duì)的車(chē)需花y1元，坐乙車(chē)隊(duì)的車(chē)需花y2元．
由題意，得y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34nx，y2＝45nx.
因?yàn)閥1－y2＝14x＋34nx－45nx
＝14x－120nx＝14x1-n5，
當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2；
當(dāng)n＜5時(shí)，y1＞y2，
所以，當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車(chē)隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠．
跟蹤訓(xùn)練3 解析：設(shè)兩次大米的價(jià)格分別為a元/千克，b元/千克(a＞0，b＞0，a≠b，)
則甲兩次購(gòu)買(mǎi)大米的平均價(jià)格(元/千克)是：100a+b200＝a+b2.
乙兩次購(gòu)買(mǎi)大米的平均價(jià)格(元/千克)是：200100a+100b＝21a+1b＝2aba+b，
因?yàn)閍+b2-2aba+b＝a+b2-4ab2a+b＝a-b22a+b＞0，所以a+b2＞2aba+b.
所以乙飯館的老板購(gòu)買(mǎi)大米的方式更合算．
[課堂十分鐘]
1．解析：對(duì)于A，x應(yīng)滿足x≤2 000，故A錯(cuò)；對(duì)于B，x，y應(yīng)滿足x

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2.1 相等關(guān)系與不等關(guān)系

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