4．4.2　計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖數(shù)學(xué)抽象2.能借助計(jì)算工具用二分法求方程的近似解數(shù)學(xué)運(yùn)算3.了解用二分法求方程近似解具有一般性數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理 電視臺(tái)某欄目中有一個(gè)猜商品價(jià)格的游戲，規(guī)則如下：給出一種商品讓參賽者猜價(jià)格，主持人給出提示語“高了”或“低了”．例如參賽者猜某種商品的價(jià)格為100元，主持人說“高了”．參賽者又猜50元，主持人說“低了”．參賽者再猜80元，主持人說“低了”．這樣一直猜下去，直到猜中為止．[問題]　(1)我們?cè)趺床虏拍鼙M快猜中價(jià)格呢？(2)這種思路能不能運(yùn)用到求方程的近似解中呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識(shí)點(diǎn)一　二分法不斷地把函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法稱作二分法．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法僅適用于連續(xù)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào))，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)(曲線通過零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào))不適用．　　　　 1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)所有函數(shù)的零點(diǎn)都可以用二分法來求．(　　)(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求其零點(diǎn)．(　　)答案：(1)×　(2)×2．下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是________．①f(x)＝3x；　②f(x)＝x2；③f(x)＝ln x; ④f(x)＝|x－1|.答案：②④知識(shí)點(diǎn)二　二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟設(shè)函數(shù)f(x)的定義在區(qū)間D上，且誤差不超過ε.二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？誤差值上來判斷．　　　　 1．用二分法求方程的近似解，誤差值為ε，則終止條件為(　　)A．|x1－x2|>ε　　　　　　 B．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2  D．x2<ε<x1答案：B　2．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________．答案：(0，0.5)　f(0.25) 二分法概念的理解[例1]　(1)下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是(　　)(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1，3)內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________．[解析]　(1)根據(jù)零點(diǎn)存在定理，對(duì)于D，在零點(diǎn)的左右附近，函數(shù)值不改變符號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)，故選D.(2)設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1，2)．[答案]　(1)D　(2)(1，2)二分法的適用條件判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]在用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，則第三次所取的區(qū)間可能是(　　)A．[1，4]　　　　　　　 B．[－2，1]C.  D．解析：選D　∵第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為，，，. 用二分法求方程的近似解[例2]　(鏈接教科書第128頁(yè)例4)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解．(誤差不超過0.1)[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)內(nèi)有解．取(0，1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)內(nèi)有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點(diǎn)mf(a)f(b)f(0，1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5，1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0(0.687 5，0.75)|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作為方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)近似解．[母題探究](變條件)若本例中的“誤差不超過0.1”換為“誤差不超過0.05”結(jié)論又如何？解：在本例的基礎(chǔ)上，取區(qū)間(0.687 5，0.75)的中點(diǎn)x＝0.718 75，因?yàn)?/span>f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作為方程的一個(gè)近似解．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[a，b](一般采用估計(jì)值的方法完成)；(2)取區(qū)間端點(diǎn)的中點(diǎn)m，計(jì)算f(m)，確定有解區(qū)間是(a，m)還是(m，b)，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合誤差值要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]用二分法求2x＋x＝4在[1，2]內(nèi)的近似解(誤差不超過0.2)．參考數(shù)據(jù)如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間誤差值區(qū)間中點(diǎn)值xnf(xn)的值及符號(hào)(1，2)|2－1|＝1x1＝1.5f(x1)≈0.33>0(1，1.5)|1.5－1|＝0.5x2＝1.25f(x2)≈－0.37<0(1.25，1.5)|1.5－1.25|＝0.25x3＝1.375f(x3)≈－0.035<0∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在[1，2]內(nèi)的近似解可取為1.375.二分法實(shí)際應(yīng)用舉例乒乓球是我國(guó)的國(guó)球，其地位是其他球類無法比擬的．乒乓球是兩個(gè)半圓的球粘成的，好的乒乓球在黏合時(shí)是加熱的，所以里面有塑料和膠水的氣味．乒乓球雖小，但打時(shí)的速度快，變化多，技術(shù)要求高，特別是對(duì)判斷力的鍛煉，要求運(yùn)動(dòng)員眼疾手快，抓住稍縱即逝的機(jī)會(huì)，對(duì)培養(yǎng)頑強(qiáng)拼搏的精神，很有好處．因此，乒乓球已經(jīng)成為一項(xiàng)世界性、普遍性的體育運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有a個(gè)乒乓球，從外觀上看完全相同，除了1個(gè)乒乓球質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的乒乓球質(zhì)量均相同．用一架天平，限稱b次，把這個(gè)“壞乒乓球”找出來，并說明此乒乓球是偏輕還是偏重．[問題探究]1．當(dāng)a＝12，b＝3時(shí)，又該如何稱？2．若“壞乒乓球偏輕”，當(dāng)a＝26時(shí)，又該如何稱？提示：1.第一次，天平左右各放4個(gè)乒乓球，有兩種情況：(1)若平，則“壞乒乓球”在剩下的4個(gè)乒乓球中．第二次，取剩下的4個(gè)乒乓球中的3個(gè)乒乓球?yàn)橐贿?/span>，取3個(gè)好乒乓球?yàn)榱硪贿?/span>，放在天平上．①若仍平，則“壞乒乓球”為剩下的4個(gè)乒乓球中未取到的那個(gè)乒乓球，將此乒乓球與1個(gè)好乒乓球放到天平上一看，即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重；②若不平，則“壞乒乓球”在取出的3個(gè)乒乓球之中，且知是輕還是重．任取其中2個(gè)乒乓球放在天平上，無論平還是不平，均可確定“壞乒乓球”．(2)若不平，則“壞乒乓球”在天平上的8個(gè)乒乓球中，不妨設(shè)右邊較重．從右邊4個(gè)乒乓球中取出3個(gè)乒乓球置于一容器內(nèi)，然后從左面4個(gè)乒乓球中取3個(gè)乒乓球移入右邊，再?gòu)耐饷婧闷古仪蛑腥?/span>3個(gè)乒乓球補(bǔ)入左邊．看天平，有三種可能．①若平，則“壞乒乓球”是容器內(nèi)3個(gè)乒乓球之一且偏重；②若左邊重，“壞乒乓球”已從一邊換到另一邊．因此，“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的3個(gè)乒乓球之一，并且偏輕；③若右邊重，據(jù)此知“壞乒乓球”未變動(dòng)位置，而未被移動(dòng)過的乒乓球只有兩個(gè)(左右各一)，“壞乒乓球”是其中之一(暫不知是輕還是重)．顯然對(duì)于以上三種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞乒乓球”，且知其是輕還是重．2．將26枚乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那13個(gè)乒乓球里面；從這13個(gè)乒乓球中拿出1個(gè)，然后將剩下的12個(gè)乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則“壞乒乓球”一定是拿出的那一個(gè)，若天平不平衡，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那6個(gè)乒乓球里面；將這6個(gè)乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那3個(gè)乒乓球里面；從這3個(gè)乒乓球中任拿出2個(gè)，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一個(gè)即是“壞乒乓球”，若天平不平衡，則質(zhì)量小的那一枚即是“壞乒乓球”．綜上可知，最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)“壞乒乓球”．[遷移應(yīng)用]將“a個(gè)乒乓球”改為“從A地到B地的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)”，現(xiàn)某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點(diǎn)，則怎樣檢測(cè)最合理？解：如下圖所示，把從A地到B地的海底電纜抽象成一條線段，圖中的15個(gè)點(diǎn)代表電纜上的15個(gè)接點(diǎn)．按照從左到右的順序?qū)⑵渚幪?hào)為1，2，3，…，15.先檢查最中間的接點(diǎn)，即第8號(hào)接點(diǎn)，若此時(shí)兩端都是通路，則此接點(diǎn)即為故障點(diǎn)，檢查完畢；若其中一端為斷路，則故障點(diǎn)必在此端．假設(shè)此時(shí)左端斷路，則檢查1～7號(hào)中間的接點(diǎn)，即第4號(hào)接點(diǎn)，若此時(shí)兩端都是通路，則此接點(diǎn)即為故障點(diǎn)，檢查完畢；若其中一端為斷路，則故障點(diǎn)必在此端．假設(shè)此時(shí)左端斷路，則檢查第2號(hào)接點(diǎn)，若此時(shí)兩端都是通路，則此接點(diǎn)即為故障點(diǎn)；若左端斷路，則故障點(diǎn)為第1號(hào)接點(diǎn)；若右端斷路，則故障點(diǎn)為第3號(hào)接點(diǎn)，到此檢查完畢．1．下列函數(shù)不宜用二分法求零點(diǎn)的是(　　)A．f(x)＝x3－1　　　　　 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋2x＋2  D．f(x)＝－x2＋4x－1解析：選C　因?yàn)?/span>f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函數(shù)值，所以不能用二分法求零點(diǎn)．2．用二分法求如圖所示的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是(　　)A．x1  B．x2C．x3  D．x4解析：選C　能用二分法求在[a，b]內(nèi)的零點(diǎn)的函數(shù)必須滿足圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)<0.而x3附近的函數(shù)值都小于零，不滿足區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相異的條件，故選C.3．設(shè)f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，則方程的根落在區(qū)間(　　)A．(2，2.25)  B．(2.25，2.5)C．(2.5，2.75)  D．(2.75，3)解析：選C　因?yàn)?/span>f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零點(diǎn)存在定理知，方程的根在區(qū)間(2.5，2.75)，選C.4．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個(gè)零點(diǎn)(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如表：x11.51.251.3751.437 51.406 25f(x)－20.625－0.984－0.2600.162－0.054求方程x3＋x2－2x－2＝0的一個(gè)近似解(誤差不超過0.04)．解：因?yàn)?/span>f(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5)；因?yàn)?/span>f(1.406 25)≈－0.054<0，又f(1.437 5)≈0.162>0，所以x0∈(1.406 25，1.437 5)，此時(shí)|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.04.所以x0可以是[1.406 25，1.437 5]之間的任意一個(gè)數(shù)，故取x0＝1.406 25.

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

4.4 函數(shù)與方程

版本： 湘教版（2019）

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