4．4　函數(shù)與方程4．4.1　方程的根與函數(shù)的零點 新課程標(biāo)準解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象與性質(zhì)，了解函數(shù)零點與方程解的關(guān)系數(shù)學(xué)抽象、直觀想象2.了解函數(shù)零點存在定理，會判斷函數(shù)零點的個數(shù)直觀想象、邏輯推理 路邊有一條河，小明從A點走到了B點．觀察下列兩幅圖．[問題]　推斷哪一幅能說明小明一定曾渡過河？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點　函數(shù)零點存在定理當(dāng)x從a到b逐漸增加時，如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)<0，則存在點x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，這個x0也就是方程f(x)＝0在(a，b)內(nèi)的一個解．特別的，當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減且f(a)·f(b)<0，f(x)在(a，b)內(nèi)恰有個零點．1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，f(a)f(b)<0時，能否判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的零點個數(shù)？提示：只能判斷有無零點，不能判斷零點的個數(shù)．2．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，是不是一定有f(a)·f(b)<0?提示：不一定，如f(x)＝x2在區(qū)間(－1，1)上有零點0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，則函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點．(　　)(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上f(a)·f(b)>0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒有零點．(　　)(3)“f(a)f(b)<0”是“函數(shù)y＝f(x)(f(x)的圖象在[a，b]上是連續(xù)不斷的)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點”的充分不必要條件．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．函數(shù)f(x)＝2x－的零點所在的區(qū)間是(　　)A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．C.  D．答案：B 求函數(shù)的零點[例1]　(1)求函數(shù)f(x)＝的零點；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax－b(a≠0)的零點為3，求函數(shù)g(x)＝bx2＋ax的零點．[解]　(1)當(dāng)x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x>0時，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.所以函數(shù)f(x)＝的零點為－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，則b＝3a，故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.所以函數(shù)g(x)＝bx2＋ax的零點為0和－.函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根；(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來．圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是(　　)A．－，－1　　　　　　 B．，1C.，－1  D．－，1解析：選B　方程2x2－3x＋1＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝，所以函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是，1.2．若f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點為________．解析：求g(x)的零點即求f(x)＝x的根，∴或解得x＝1＋或x＝1.∴g(x)的零點為1＋，1.答案：1＋，1函數(shù)零點個數(shù)問題角度一　判斷函數(shù)零點個數(shù)[例2]　(鏈接教科書第126頁例1)求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數(shù)．[解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點．又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．故函數(shù)f(x)有且只有一個零點．法二：在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖．由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x圖象有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點．判斷函數(shù)零點個數(shù)的4種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點；(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)；(3)結(jié)合單調(diào)性，利用零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)；(4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．　　　　 角度二　根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍[例3]　已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　)A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)C．(－1，0)  D．[－1，0)[解析]　當(dāng)x>0時，f(x)＝3x－1有一個零點x＝.因此當(dāng)x≤0時，f(x)＝ex＋a＝0只有一個實根，∴a＝－ex(x≤0)，則－1≤a<0.[答案]　D已知函數(shù)有零點(方根有根)求參數(shù)值常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]若函數(shù)f(x)＝有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)x>0時，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點，令f(x)＝0得a＝2x，因為0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1]．答案：(0，1] 討論函數(shù)零點(方程解)的分布[例4]　(鏈接教科書第127頁例2、例3)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是(　　)A．(－2，－1)  B．(－1，0)C．(0，1)  D．(1，2)[解析]　法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0，1)內(nèi)有零點．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函數(shù)的零點所在區(qū)間即為函數(shù)y＝ex和y＝2－x的圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間．如圖，由圖象可得函數(shù)y＝ex和y＝2－x的圖象交點所在的區(qū)間為(0，1)．[答案]　C　確定函數(shù)f(x)零點(方程解)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上；(2)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點；(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝ln x＋x－3的零點所在的區(qū)間為(　　)A．(0，1)  B．(1，2)C．(2，3)  D．(3，4)解析：選C　∵f(1)＝ln 1＋1－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，∴f(x)在(2，3)內(nèi)有零點，故選C.2．函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)C.  D．解析：選D　由題意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，設(shè)t＝x＋，x∈，則t的取值范圍是，∴實數(shù)a的取值范圍是.1．若f(x)＝，則函數(shù)y＝f(4x)－x的零點是(　　)A.  B．－C．2  D．－2解析：選A　根據(jù)函數(shù)零點的概念，函數(shù)y＝f(4x)－x的零點就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故選A.2．函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個零點，則b的值為(　　)A．2  B．－2C．±2  D．3解析：選C　因為函數(shù)有一個零點，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.3．(多選)下列說法中正確的是(　　)A．函數(shù)f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為(－1，0)B．函數(shù)f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1C．函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點D．函數(shù)f(x)的零點，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)解析：選BD　根據(jù)函數(shù)零點的定義，可知f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零點為－1，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)．因此B，D正確．4．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下x，f(x)的對應(yīng)值表： x123456f(x)1510－76－4－5 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點至少有(　　)A．2個  B．3個C．4個  D．5個解析：選B　由題表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，故f(x)在區(qū)間[1，6]上至少有3個零點．5．方程2x＋2x＝0在下列區(qū)間內(nèi)一定有解的是(　　)A．[－1，0]  B．[－3，－2]C．[1，2]  D．[3，4]解析：選A　由于函數(shù)f(x)＝2x＋2x是單調(diào)遞增函數(shù)，且f(－1)＝－2＝－<0，f(0)＝1>0，由函數(shù)零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間[－1，0]上一定存在零點．故方程2x＋2x＝0在[－1，0]上一定存在解．

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4.4 函數(shù)與方程

版本： 湘教版（2019）

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