高中數(shù)學(xué)4.4 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)4.4 函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)案，共10頁(yè)。
4．4.2　計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法教材要點(diǎn)要點(diǎn)一　二分法在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10 km長(zhǎng)的線路，在這條線路上有200多根電線桿，如圖所示．工人首先從線路的中點(diǎn)C查起，如果CB段正常，就選擇CA的中點(diǎn)D測(cè)試，如果DA段正常，就選擇DC的中點(diǎn)E繼續(xù)測(cè)試……像檢修線路所用的這種方法稱(chēng)作二分法．要點(diǎn)二　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般操作方法設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間D上，其圖象是一條連續(xù)曲線，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過(guò)給定的正數(shù)ε，即使得|x－x0|≤ε.(1)在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間[a，b]?D，使f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a)·f(b)＜0；(2)取區(qū)間[a，b]的中點(diǎn)m＝(a＋b)；(3)如果|m－a|＜ε , 則取m為f(x)的零點(diǎn)近似值，計(jì)算終止；(4)計(jì)算f(m)，如果f(m)＝0，則m就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；(5)f(m)與f(a)同號(hào)則令a＝m，否則令b＝m，再執(zhí)行(2)．狀元隨筆　二分就是將所給區(qū)間平均分成兩部分，通過(guò)不斷逼近的辦法，找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn)．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值．(　　)(2)用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位．(　　)(3)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用．(　　)(4)用二分法求方程的近似解，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法，運(yùn)用“逼近”思想逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間．(　　)2．以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是(　　)3．用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，則函數(shù)的一個(gè)精確度為0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為(　　)A．0.9    B．0.7C．0.5    D．0.44．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2，4)上連續(xù)，驗(yàn)證f(2)·f(4)＜0，取區(qū)間(2，4)的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)＜0，則此時(shí)零點(diǎn)所在的區(qū)間為________． 題型1　二分法的概念應(yīng)用例1　(1)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是(　　)(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間[1，3]內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________． 方法歸納二分法的適用條件判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列函數(shù)中，能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的有(　　)A．f(x)＝3x－1    B．f(x)＝x2－2x＋1C．f(x)＝log4x     D．f(x)＝ex－2題型2　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值例2　用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)．(精確度0.01)             方法歸納(1)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則①需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成)．②取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值．(2)二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看．同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口．跟蹤訓(xùn)練2　根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在區(qū)間(1，2)上的零點(diǎn)的近似值(精確度為0.1)是(　　)f(1)＝－1f(2)＝3f(1.5)＝－0.125f(1.75)＝1．109 375f(1.625)≈0．416 015 63f(1.562 5)≈0．127 197 27A.1.75             B．1.625C．0.127 197 26    D．1.562 5題型3　用二分法求方程的近似解例3　用二分法求2x＋x＝4在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解(精確度0.2)．參考數(shù)據(jù)：x1.125 1.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67              方法歸納用二分法求方程的近似解的方法對(duì)于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)的近似值，然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟求解．跟蹤訓(xùn)練3　用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：x1.6001.587 51.575 01.562 51.556 21.550 0f(x)的近似值0.2000.1330.0670.003－0.029－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.01)可取________．易錯(cuò)辨析　精確度理解不正確致誤例4　用二分法求方程x2－5＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.1)．解析：令f(x)＝x2－5，因?yàn)?/span>f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2.2，2.4)內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為x0.取區(qū)間(2.2，2.4)的中點(diǎn)x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，因?yàn)?/span>f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2，2.3)．再取區(qū)間(2.2，2.3)的中點(diǎn)x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5＞0，因?yàn)?/span>f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2，2.25)．因?yàn)?/span>|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一個(gè)近似正解可取為2.25.易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得誤認(rèn)為精確度是|f(a)－f(b)|＜ε，導(dǎo)致錯(cuò)誤．利用二分法求方程的近似解時(shí)，要隨時(shí)檢驗(yàn)區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度與精確度ε的關(guān)系，一旦有|a－b|＜ε，應(yīng)立即停止計(jì)算，該區(qū)間中的任一值都是方程的近似解．課堂十分鐘1．用二分法求如圖所示函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是(　　)A．x1    B．x2C．x3    D．x42．用二分法求函數(shù)f(x)＝2x－3的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間可選為(　　)A．(－1，0)    B．(0，1)C．(1，2)    D．(2，3)3．在用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，2)內(nèi)近似根的過(guò)程中，已經(jīng)得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，則方程的根落在區(qū)間(　　)A．(1，1.25)    B．(1.25，1.5)C．(1.5，2)     D．不能確定4．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，4]上的近似零點(diǎn)(精確度為0.01)，驗(yàn)證f(2)·f(4)＜0，取區(qū)間[2，4]的中點(diǎn)x1＝＝3，計(jì)算得f(2)·f(x1)＜0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū)間是________.5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一個(gè)近似解(精確度為0.1)的不完整的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出結(jié)論．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋3x－5，其圖象在(－∞，＋∞)上是連續(xù)不斷的一條曲線．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在區(qū)間________內(nèi)存在零點(diǎn)x0.填表：區(qū)間中點(diǎn)mf(m)的符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度                    4．4.2　計(jì)算函數(shù)零點(diǎn)的二分法新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．解析：根據(jù)二分法的基本方法，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各圖象分析可知，選項(xiàng)A、B、D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．故選C.答案：C3．解析：由題意可知函數(shù)的零點(diǎn)在(0.68，0.72)內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)中只有0.7，滿足|0.7－0.68|＜0.1.故選B.答案：B4．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi)．答案：(2，3)題型探究·課堂解透例1　解析：(1)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)．在B中，不滿足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零點(diǎn)，由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn)．故選B.(2)設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1，2)．答案：(1)B　(2)(1，2)跟蹤訓(xùn)練1　解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn)，其余選項(xiàng)中在函數(shù)的零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故選ACD.答案：ACD例2　解析：經(jīng)計(jì)算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函數(shù)在[1，1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取(1，1.5)的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25)＜0，因?yàn)?/span>f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)，如此繼續(xù)下去，如下表：區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1，1.5)1.25－0.30(1.25，1.5)1.3750.22(1.25，1.375)1.312 5－0.05(1.312 5，1.375)1.343 750.08(1.312 5，1.343 75)1.328 1250.01(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5－0.02因?yàn)?/span>|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1精確度為0.01的一個(gè)近似零點(diǎn)可取為1.328 125.跟蹤訓(xùn)練2　解析：因?yàn)?/span>f(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是連續(xù)的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以區(qū)間[1.5，1.562 5]中的任意一個(gè)值都可作為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上零點(diǎn)的近似值．故選D.答案：D例3　解析：令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)值xnf(xn)的值及符號(hào)(1，2)x1＝1.5f(x1)＝0.33＞0(1，1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.37＜0(1.25，1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.035＜0(1.375，1.5)  ∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在(1，2)內(nèi)的近似解可取為1.375.跟蹤訓(xùn)練3　解析：由題中圖表可知f(x)＝3x－x－4的零點(diǎn)在1.556 2和1.562 5之間，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之間，由題意知近似解要精確到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解為1.56.答案：1.56[課堂十分鐘]1．解析：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)在函數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值的符號(hào)不同．故選C.答案：C2．解析：因?yàn)?/span>f(－1)＝2－1－3＝－<0，f(0)＝20－3＝－2<0，f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝22－3＝1>0，f(3)＝23－3＝5>0，又因?yàn)?/span>f(1)·f(2)<0，所以f(x)＝2x－3的零點(diǎn)x0∈(1，2)．故選C.答案：C3．解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在區(qū)間(1，1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)＝3x＋3x－8存在一個(gè)零點(diǎn)．又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在區(qū)間(1.25，1.5)內(nèi)函數(shù)f(x)＝3x＋3x－8存在一個(gè)零點(diǎn)．由此可得方程3x＋3x－8＝0的根落在區(qū)間(1.25，1.5)內(nèi)．故選B.答案：B4．解析：∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)．答案：(2，3)5．解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0，填表為區(qū)間中點(diǎn)mf(m)的符號(hào)區(qū)間長(zhǎng)度(1，2)1.5＋1(1，1.5)1.25＋0.5(1，1.25)1.125－0.25(1.125，1.25)1.187 5＋0.125(1.125，1.187 5)1.156 25＋0.062 5因?yàn)?/span>|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取為1.187 5.