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4．1.3　冪函數(shù)

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀
核心素養(yǎng)
通過(guò)具體實(shí)例，結(jié)合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)，會(huì)求冪函數(shù)的解析式
數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理



我們以前學(xué)過(guò)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝.
[問(wèn)題]　(1)這三個(gè)函數(shù)的解析式有什么共同的特點(diǎn)嗎？
(2)你能根據(jù)初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，把這三個(gè)函數(shù)的解析式改寫(xiě)成統(tǒng)一的形式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知識(shí)點(diǎn)一　冪函數(shù)的概念
1．定義：當(dāng)x為自變量而α為非零實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝xα叫作(α次)冪函數(shù)．
2．冪函數(shù)分類
(1)整數(shù)次冪函數(shù)
①當(dāng)α為1，2，3…正整數(shù)時(shí)，此冪函數(shù)是正整數(shù)次冪函數(shù)，一般寫(xiě)成y＝xn(x∈R，n∈Z＋)；
②當(dāng)α為－1，－2，－3，…負(fù)整數(shù)時(shí)，此冪函數(shù)是負(fù)整數(shù)次冪函數(shù)．
一般寫(xiě)成y＝x－n(n∈Z＋且x≠0)，正整數(shù)次冪函數(shù)和負(fù)整數(shù)次冪函數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)次冪函數(shù)．
(2)當(dāng)α為，，－，…分?jǐn)?shù)時(shí)，此冪函數(shù)是分?jǐn)?shù)次冪函數(shù)．
如y＝＝x，y＝x等．
3．冪運(yùn)算的基本不等式的推廣：對(duì)任意的正數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有＝>1，即ar>br.
對(duì)任意的負(fù)數(shù)r和兩正數(shù)a>b，有＝g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)；
(2)當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；
(3)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)0，所以x1－x20，于是f(x2)－f(x1)，∴>.
(2)∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，
又－.
(3)∵函數(shù)y1＝x為(0，＋∞)上的增函數(shù)，又＞1，
∴＞1＝1.
又∵函數(shù)y2＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且＜1，
∴＜1＝1，∴＞.

比較冪值大小的2種方法
　　　　
[跟蹤訓(xùn)練]
比較下列各組值的大?。?br /> (1)(－0.31)，0.35；(2)1.2，1.4，1.42.
解：(1)∵y＝x為R上的偶函數(shù)，∴(－0.31)＝0.31.
又函數(shù)y＝x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且0.31＜0.35，
∴0.31＜0.35，即(－0.31)＜0.35.
(2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且1.2

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第一冊(cè)電子課本

4.1 實(shí)數(shù)指數(shù)冪和冪函數(shù)

版本： 湘教版（2019）

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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