湘教版（2019）必修第一冊第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.4 函數(shù)與方程圖片ppt課件-課件下載-教習網(wǎng)

4.4.2　計算函數(shù)零點的二分法學習任務核心素養(yǎng)1．通過具體實例理解二分法的概念及其使用條件．(重點)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助計算器用二分法求方程的近似解．(難點)3．會用二分法求一個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點，從而求得方程的近似解．(易混點)借助二分法的操作步驟與思想，培養(yǎng)數(shù)學建模及邏輯推理素養(yǎng).中央電視臺節(jié)目《購物街》猜商品價格，主持人要求選手在規(guī)定時間內(nèi)猜某一物品的價格，誤差不超過10元．規(guī)則如下：選手每次猜出價格后主持人根據(jù)實際的價格判斷是“高了”還是“低了”，然后選手根據(jù)主持人的判斷重新猜價格，直到猜中或是時間到就結束游戲．那么 “高了”“底了”在猜測過程中起了什么作用？條件“誤差不超過10元”怎樣理解？如何快速猜出商品價格？知識點1　二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫作二分法．若函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)有零點，該零點是否一定能用二分法求解？[提示]　二分法只適用于函數(shù)的變號零點(即函數(shù)在零點兩側符號相反)，因此函數(shù)在零點兩側同號的零點不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零點就不能用二分法求解．1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點是________．x3　[因為x3左右兩側的函數(shù)值同號，故其不能用二分法求解．]知識點2　二分法求函數(shù)零點近似值的步驟設函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間D上，其圖象是一條連續(xù)曲線．求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它與零點的誤差不超過給定的正數(shù)ε，即使得|x－x0|≤ε.(1)在D內(nèi)取一個閉區(qū)間[a，b]?D，使f(a)與f(b)異號，即f(a)·f(b)<0；(2)取區(qū)間[a，b]的中點m＝(a＋b)；(3)如果|m－a|<ε，則取m為f(x)的零點近似值，計算終止；(4)計算f(m)，如果f(m)＝0，則m就是f(x)的零點，計算終止；(5)f(m)與f(a)同號則令a＝m，否則令b＝m，再執(zhí)行(2)．2.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點． (　　)(3)用二分法求函數(shù)零點的近似值時，每次等分區(qū)間后，零點必定在右側區(qū)間內(nèi)． ????????????? (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×3.用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經(jīng)過計算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________．(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次應計算f(0.25)．] 類型1　二分法概念的理解【例1】　(1)(多選題)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(　　)A　　　　B　　　　　　C　　　D(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出，則c的值是(　　)A．9　 B．8　　　　C．7　　　　 D．6(1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理論依據(jù)是零點存在定理，必須滿足零點兩側函數(shù)值異號才能求解．而選項B圖中零點兩側函數(shù)值同號，即曲線經(jīng)過零點時不變號，稱這樣的零點為不變號零點．另外，選項A，C，D零點兩側函數(shù)值異號，稱這樣的零點為變號零點．(2)由題意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.故選A．]運用二分法求函數(shù)的零點應具備的2個條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右函數(shù)值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點．1．(多選題)下列關于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]的敘述中，其中正確的是(　　)A．二分法既是一種求值方法，又是一種解決實際問題的思想，有著廣泛應用B．若x0是f(x)在[a，b]上的零點，則可用二分法求x0的近似值C．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位D．用二分法求方程的根時，得到的都是近似值AC　[結合二方法的原理可知AC正確．] 類型2　用二分法求方程的近似解【例2】　用二分法求2x＋x＝4在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(誤差不超過0.2)．參考數(shù)據(jù)：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67結合二分法的原理思考求解該問題的步驟以及如何應用精確度求得方程的近似解？[解]　令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.區(qū)間區(qū)間中點值xnf(xn)的值及符號(1,2)x1＝1.5f(x1)＝0.33>0(1,1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.37<0(1.25,1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.035<0(1.375,1.5) ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解可取為1.375.利用二分法求方程近似解的過程圖示2．用二分法求方程x2－2x－1＝0的一個大于零的近似解(誤差不超過0.1)．[解]　令f(x)＝x2－2x－1，易知f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴f(x)在區(qū)間(2,3)上有且只有一個零點，記為x0.取2和3的中點2.5，∵f(2.5)＝2.52－2×2.5－1＝0.25>0，∴x0∈(2,2.5)，取2和2.5的中點2.25，∵f(2.25)＝2.252－2×2.25－1＝－0.437 5<0，∴x1∈(2.25,2.5)，如此繼續(xù)下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，則x0∈(2.375,2.437 5)，∴|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取為2.375.1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為(　　)A．4,4　 B．3,4　　　C．5,4　　　　 D．4,3D　[圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數(shù)為3，故選D．]2．用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區(qū)間是(　　)A．[－2，－1]　　　　 B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]A　[∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作為初始區(qū)間，用二分法逐次計算．]3．用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的唯一零點時，誤差不超過0.001，則結束計算的條件是(　　)A．|a－b|<0.1　　　 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001B　[據(jù)二分法的步驟知當區(qū)間長度|b－a|小于0.001時，便可結束計算．]4．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2,4]上零點的近似值，經(jīng)驗證有f(2)·f(4)<0.取區(qū)間的中點x1＝＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0∈_______(填區(qū)間)．(2,3)　[因為f(2)·f(3)<0，所以零點在區(qū)間(2,3)內(nèi)．]5．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：x1.600 01.587 51.575 01.562 51.556 21.550 0f(x)的近似值0.2000.1330.0670.003－0.029－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解(誤差不超過0.01)可取________．(答案不唯一)1.56　[f(1.562 5)＝0.03>0，f(1.556 2)<0，且|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3<0.01，∴區(qū)間(1.556 2,1.562 5)內(nèi)的任意實數(shù)均是函數(shù)f(x)的零點，不妨取1.56.]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：1．判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是什么？[提示]　在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適合，對函數(shù)的不變號零點不適合．2．用二分法求方程的近似解，如何決定步驟的結束？[提示]　當零點所在區(qū)間的兩個端點值之差的絕對值小于精確度時，二分法步驟結束．二分法在搜索中的應用日常生活中，我們經(jīng)常要利用計算機、網(wǎng)絡來搜索信息．你知道嗎？二分法在搜索的過程中扮演著非常重要的角色．下圖中的15個數(shù)是按從小到大排列的．258111216232729355153697577如果隨機給出一個不大于100的自然數(shù)x，要讓計算機查找x是否在上面這列數(shù)中，設計怎樣的查找方法，才能保證不管給出的是什么數(shù)，都能在指定的步驟內(nèi)查到結果呢？如果讓計算機將x逐一與圖中的數(shù)去比較，那么在有些情況下，只要比較1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情況下，卻要比較15次才能完成任務(例如x＝80)．如果我們用二分法的思想來查找，情況就不一樣了：每一次都讓x與序列中正中間的數(shù)進行大小比較，通過這種方式縮小其可能的位置范圍．例如，x＝13時的查找過程可用下圖表示．由此不難看出，不管給出的是什么數(shù)，最多4次就能完成任務．計算機中的很多搜索程序都是用類似方法編寫的，而且二分法在故障排除、實驗設計方面都有應用，感興趣的同學去查閱有關書籍和網(wǎng)站吧！

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