5．1.2　弧度制新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.理解1弧度的角的定義，了解弧度制的概念，能進行角度與弧度之間的互化數(shù)學抽象、數(shù)學運算2.體會引入弧度制的必要性數(shù)學抽象3.理解弧度制下弧長與面積公式數(shù)學運算 公元6世紀，印度人在制作正弦表時，曾用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念．歐拉是明確提出弧度制思想的數(shù)學家.1748年，在他的一部劃時代著作《無窮小分析概論》中，提出把圓的半徑作為弧長的度量單位，使一個圓周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來，大大簡化了三角公式及計算．[問題]　按照上述定義30°是多少弧度？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知識點一　度量角的兩種制度角度制定義用“度”作為單位來度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的，記作1°弧度制定義以“弧度”為單位來度量角的單位制1弧度的角把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角.1弧度記作1 rad(rad可省略不寫) 1．用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”或 “rad”可以略去不寫，只寫這個角對應的弧度數(shù)即可．2．不管是以弧度還是以度為單位度量角的大小，都是一個與半徑大小無關(guān)的定值．　　　　 知識點二　角度制與弧度制的換算1．弧度數(shù)的計算2．弧度與角度的換算1．一個角的度數(shù)是否對應一個弧度數(shù)？提示：是．一個給定的角，其度數(shù)和弧度數(shù)都是唯一確定的．2．在大小不同的圓中，長度為1的弧所對的圓心角相等嗎？提示：不相等．這是因為長度為1的弧是指弧的長度為1，在大小不同的圓中，由于半徑不同，所以圓心角也不同．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位．(　　)(2)用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)．(　　)(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　)(4)1 rad的角比1°的角要大．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　2．(多選)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是(　　)A．60°化成弧度是B．－π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πD.化成度是15°答案：ABD知識點三　扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR；(2)扇形面積公式：S＝lR＝αR2．在應用弧長公式、扇形面積公式時，要注意α的單位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”為單位的，則應先化成“弧度”，再代入計算．　　　　 1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)扇形的半徑為1 cm，圓心角為30°，則扇形的弧長l＝r|α|＝1×30＝30(cm)．(　　)(2)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，而弧長也增加到原來的2倍，弧長所對的扇形的面積不變．(　　)答案：(1)×　(2)×2．已知扇形的半徑r＝30，圓心角α＝，則該扇形的弧長等于________，面積等于________．答案：5π　75π角度與弧度的換算[例1]　(鏈接教科書第156頁例4、例5)將下列角度與弧度進行互化：(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.[解]　(1)π＝×180°＝15 330°.(2)－＝－×180°＝－105°.(3)10°＝10×＝.(4)－855°＝－855×＝－.角度制與弧度制的互化原則和方法(1)原則：牢記180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°進行換算；(2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n°，則α rad＝°；n°＝n· rad.[注意]　用“弧度”為單位度量角時，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特別要求，不必把π寫成小數(shù)．　　　　 [跟蹤訓練]1．把下列弧度化為角度：(1)＝________；(2)－＝________．解析：(1)＝°＝690°.(2)－＝－°＝－390°.答案：(1)690°　(2)－390°2．把下列角度化為弧度：(1)－1 500°＝________； (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×＝－π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.答案：(1)－　(2)用弧度制表示角的集合[例2]　(鏈接教科書第157頁練習2題)把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第幾象限角并寫出與α終邊相同的角的集合．(1)－；(2)－1 485°.[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角，與終邊相同的角的集合為.(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角，與終邊相同的角的集合為.弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．[注意]　(1)注意角度與弧度不能混用；(2)各終邊相同的角需加2kπ，k∈Z.　　　　 [跟蹤訓練]1．若＝2kπ＋(k∈Z)，則的終邊在(　　)A．第一象限　　　　　　　 B．第四象限C．x軸上  D．y軸上解析：選D　∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．當k為奇數(shù)時，的終邊在y軸的非正半軸上；當k為偶數(shù)時，的終邊在y軸的非負半軸上．綜上，的終邊在y軸上，故選D.2．若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是(　　)A.B.C.D.(k∈Z)解析：選D　陰影部分的兩條邊界分別是和角的終邊，所以α的取值范圍是(k∈Z)．扇形的弧長公式及面積公式的應用[例3]　(鏈接科書第156頁例6)若扇形的面積是4 cm2，它的周長是10 cm，則扇形圓心角(正角)的弧度數(shù)為(　　)A.　　　 B．　　　 C.　　　 D．[解析]　設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α(0＜α＜2π)，由題意，得由②得，r＝， ③把③代入①，得2α2－17α＋8＝0.解得α＝或α＝8(舍去)．故扇形圓心角的弧度數(shù)為.[答案]　A關(guān)于弧度制下扇形問題的解決方法(1)三個公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰當選擇公式，建立未知量、已知量間的關(guān)系，通過解方程(組)求值；(2)弧長、面積的最值：利用圓心角的弧度數(shù)、半徑表示出弧長(面積)，利用函數(shù)知識求最值，一般利用二次函數(shù)的最值求解．　　　　 [跟蹤訓練]1．弧長為3π，圓心角為135°的扇形的半徑為________，面積為________．解析：因為135°＝＝，所以扇形的半徑為＝4，面積為×3π×4＝6π.答案：4　6π2．已知一扇形的周長為40 cm，當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以當半徑r＝10 cm時，扇形的面積最大，最大值為100 cm2，這時θ＝＝＝2 rad.扇形的弧長公式的應用如圖，點P，Q從點A(4，0)同時出發(fā)，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn).[問題探究]1．點P，Q第一次相遇時用了多少秒？提示：設(shè)點P，Q第一次相遇所用的時間是t s，則t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇時用了4 s.2．點P，Q第一次相遇時各自走過的弧長是多少？提示：第一次相遇時，點P運動到角的終邊與圓相交的位置，點Q運動到角－的終邊與圓相交的位置，∴點P走過的弧長為·4＝，點Q走過的弧長為×4＝.3．若點Q也按逆時針方向轉(zhuǎn)，則點P，Q第一次相遇時用了多少秒？提示：設(shè)點P，Q第一次相遇的時間為t s，則t·－t·＝2π，解得t＝12 s．所以第一次相遇時用了12 s.[遷移應用]圓O的半徑為1，P為圓周上一點，現(xiàn)將如圖所示放置的邊長為1的正方形(正方形的頂點A和點P重合)沿著圓周逆時針滾動．經(jīng)過若干次滾動，點A第一次回到點P的位置，則點A走過的路程為(　　)A．2π　　　　　　　　 B．πC.π  D．π解析：選D　因為圓O的半徑r＝1，正方形的邊長a＝1，所以以正方形的一邊為弦時所對應的圓心角為，正方形在圓周上滾動時，點的位置如圖所示，故當點A首次回到點P的位置時，正方形在圓周上滾動了2圈，而自身滾動了3圈．設(shè)第i(i∈N＋)次滾動點A的路程為Ai，則A1＝×AB＝，A2＝×AC＝，A3＝×DA＝，A4＝0，所以點A所走過的路程為3(A1＋A2＋A3＋A4)＝π.1.對應的角度為(　　)A．75°　　　　　　　　　 B．125°C．135°  D．155°解析：選C　由于1 rad＝°，所以＝π×°＝135°，故選C.2．在半徑為8 cm的圓中，的圓心角所對的弧長為(　　)A.π cm  B．π cmC.π cm  D．π cm解析：選A　根據(jù)弧長公式，得l＝×8＝(cm)．3．與角終邊相同的角是(　　)A.  B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ－(k∈Z)  D．(2k＋1)π＋(k∈Z)解析：選B　A錯誤，＝2π＋，與角的終邊不同；B正確，2kπ－，k∈Z，當k＝2時，得[0，2π)上的角為，與角有相同的終邊；C錯誤，2kπ－，k∈Z，當k＝1時，得[0，2π)上的角為，與角的終邊不同；D錯誤，(2k＋1)π＋，k∈Z，當k＝0時，得[0，2π)上的角為，與角的終邊不同．4．用弧度制表示終邊落在x軸上方的角α的集合為________．解析：若角α的終邊落在x軸上方，則2kπ<α<2kπ＋π(k∈Z)．答案：{α|2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z}

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高中數(shù)學湘教版（2019）必修 第一冊電子課本

5.1 任意角與弧度制

版本： 湘教版（2019）

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