二輪大題專練51—隨機(jī)變量的分布列（相關(guān)關(guān)系）1．魔方（Rubik'sCube），又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克（RubikErn?）教授于1974年發(fā)明的．魔方與華容道、獨(dú)立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議，而魔方受歡迎的程度更是智力游戲界的奇跡．通常意義下的魔方，即指三階魔方，為3×3×3的正方體結(jié)構(gòu)，由26個(gè)色塊組成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時(shí)間內(nèi)復(fù)原．截至2020年，三階魔方還原官方世界紀(jì)錄是由中國的杜宇生在2018年11月24日于蕪湖賽打破的紀(jì)錄，單次3.475秒．（1）某魔方愛好者進(jìn)行一段時(shí)間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒）99994532302421現(xiàn)用y＝a+作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測該魔方愛好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1）？參考數(shù)據(jù)（其中zi＝）：ziyizi2﹣7×2184.50.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，＝．（2）現(xiàn)有一個(gè)復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動最外側(cè)的六個(gè)表面．某人按規(guī)定將魔方隨機(jī)扭動兩次，每次均順時(shí)針轉(zhuǎn)動90°，記頂面白色色塊的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．解：（1）由題意可知：，＝，所以a＝，因此y關(guān)于x的回歸方程為：y＝13+，所以最終每天魔方還原的平均速度y約為13秒；（2）由題意可知：X的可能取值為3，4，6，9，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝6）＝，P（X＝9）＝，所以X的分布列為： X 3 4 6 9 P    數(shù)學(xué)期望為E（X）＝3×．2．我國在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)投公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域．若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為的概率為，收益率為的概率為；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為的概率為0.4，收益率為的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．（1）已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請你為該風(fēng)投公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由；（2）若該風(fēng)投公司準(zhǔn)備對以上你認(rèn)為比較合理的的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如表：年份20162017201820191234累計(jì)投資金額（單位：億元）2356請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年年末，該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．附：收益收入的資金獲利期望；線性回歸方程中，，．解：（1）若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為：0.3所以．若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.300.40.10.5所以．因?yàn)橥顿Y以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，所以，所以．因?yàn)?/span>，，所以，，這說明雖然光刻機(jī)項(xiàng)目和光刻膠項(xiàng)目獲利相等，但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目；（2），，，，則，，故線性回歸方程為．設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為，則，解得，故在2020年年末該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益可以超過0.75億元．3．為喜迎元旦，某電子產(chǎn)品店規(guī)定購買超過5000元電子產(chǎn)品的顧客可以參與抽獎(jiǎng)活動，現(xiàn)有甲品牌和乙品牌的掃地機(jī)器人作為獎(jiǎng)品，從這兩種品牌的掃地機(jī)器人中各隨機(jī)抽取6臺，檢測它們充滿電后的工作時(shí)長，相關(guān)數(shù)據(jù)見如表．（工作時(shí)長單位：分）機(jī)器序號123456甲品牌工作時(shí)長/分220180210220200230乙品牌工作時(shí)長/分200190240230220210（1）根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算抽取的甲、乙兩種品牌的掃地機(jī)器人充滿電后工作時(shí)長的平均數(shù)與方差．（2）從甲品牌被抽取的6臺掃地機(jī)器人中隨機(jī)抽出3臺掃地機(jī)器人，記抽出的掃地機(jī)器人充滿電后工作時(shí)長不低于220分鐘的臺數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．（3）如表是一臺乙品牌掃地機(jī)器人的使用次數(shù)與充滿電后工作時(shí)長的相關(guān)數(shù)據(jù)，求該掃地機(jī)器人工作時(shí)長y與使用次數(shù)x之間的回歸直線方程，并估計(jì)該掃地機(jī)器人使用第200次時(shí)充滿電后的工作時(shí)長．使用次數(shù)x20406080100120140工作時(shí)長y/分210206202196191188186附：＝，＝．解：（1）根據(jù)題意，計(jì)算甲的平均數(shù)為＝×（220+180+210+220+200+230）＝210，乙的平均數(shù)為＝×（200+190+240+230+220+210）＝215，甲的方差為＝×[（220﹣210）2+（180﹣210）2+（210﹣210）2+（220﹣210）2+（200﹣210）2+（230﹣210）2]＝，乙的方差為＝×[（200﹣215）2+（190﹣215）2+（240﹣215）2+（230﹣215）2+（220﹣215）2+（210﹣215）2]＝．（2）由題意得X的可能取值為0，1，2，3；計(jì)算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列為：X0123P計(jì)算數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．（3）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算＝×（20+40+60+80+100+120+140）＝80，＝×（210+206+202+196+191+188+186）＝197，＝＝＝﹣，＝＝197﹣（﹣）×80＝214，所以y與x之間的回歸直線方程＝﹣x+214，x＝200時(shí)，＝﹣×200+214＝171.5，所以估計(jì)該掃地機(jī)器人使用第200次時(shí)充滿電后的工作時(shí)長171.5分鐘．4．某醫(yī)療專家組為了研究新冠肺炎病毒在特定環(huán)境下一周內(nèi)隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到如下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t（天）1234567繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)）1123446（1）由如表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5，則該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：回歸方程＝t+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝，＝﹣．解：（Ⅰ）由題意，，，，，∴＝，．∴y關(guān)于t的線性回歸方程為；（Ⅱ）由題意將估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表： 天數(shù)t（天） 123 4567 繁殖個(gè)數(shù)y（千個(gè)） 1123446 估計(jì)個(gè)數(shù)（千個(gè)）   3   由列表和題意可知該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為“理想數(shù)據(jù)”的有5個(gè)，故X的所有可能取值為1，2，3．P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．∴“理想數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)X的分布列為：X 1 2 3 P則E（X）＝1×．5．近年來，國資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如表所示：土地使用面積（單位：畝）12345管理時(shí)間（單位：月）810132024并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示： 愿意參與管理不愿意參與管理男性村民15050女性村民50 （1）求出相關(guān)系數(shù)r的大小，并判斷管理時(shí)間y與土地使用面積x是否線性相關(guān)？（保留三位小數(shù)）（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿有關(guān)？（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取3人，記取到愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，，其中n＝a+b+c+d，．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：（1）依題意：，，故，，，則故管理時(shí)間y與土地使用面積線性相關(guān)．（2）依題意，女性村民中不愿意參與管理的人數(shù)是50，計(jì)算得k2的觀測值為．故有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿有關(guān)．（3）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，從該貧困縣中隨機(jī)抽取一名，則取到愿意參與管理的男性村民的概率為．，，，，故x的分布列為：X0123P則數(shù)學(xué)期望為．6．臨近春節(jié)，各商場紛紛舉行大力度的優(yōu)惠活動，某商場的“滿減促銷”活動吸引越來越多的人前來消費(fèi)，該商場的銷售團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動剛推出7天內(nèi)每一天進(jìn)店消費(fèi)的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天進(jìn)店消費(fèi)的人次（單位：人次）．（1）該銷售團(tuán)隊(duì)分別用兩種模型①y＝c?dx，②y＝a+bx（c，d為大于零的常數(shù)）進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第10天進(jìn)店消費(fèi)的人次；參考數(shù)據(jù)：100.77651.63257450.965.89（3）根據(jù)（1）選擇的模型按照某項(xiàng)指標(biāo)測定，當(dāng)殘差時(shí)，則稱當(dāng)天為“消費(fèi)正常日”．若從該影院開業(yè)的這7天中任選3天進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析，記“消費(fèi)正常日”的天數(shù)X，求X的分布列及期望．附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．解：（1）應(yīng)該選擇模型①．（2）因?yàn)?/span>y＝c?dx，兩邊取常用對數(shù)得lgy＝lg（c?dx）＝lgc+lgd?x，設(shè)lgy＝z，所以z＝lgc+lgd?x．因?yàn)?/span>，，，，所以，把樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)（4，1.63）代入z＝lgc+lgd?x，得lgc＝0.87，所以，則lgy＝0.87+0.19x，所以y關(guān)于x的回歸方程為．把x＝10代入上式得：，故活動推出第10天進(jìn)店消費(fèi)的人次為589．（3）從殘差圖易知，7天中有5天為“消費(fèi)正常日”，X的可能取值為1，2，3．，，，所以X的分布列為：X123P故X的期望為． 

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