二輪大題專練47—隨機變量的分布列（比賽類）1．某校高一年級組織“知識競答”活動．每位參賽者第一關需回答三個問題，第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得﹣10分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得﹣20分．規(guī)定，每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功．若某位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這位參賽者僅回答正確兩個問題的概率；（2）求這位參賽者回答這三個問題的總得分ξ的分布列和期望；（3）求這位參賽者闖關成功的概率．解：（1）設事件Ai這位參賽者回答對第i個問題（i＝1，2，3），∴＝．（2）ξ＝﹣30，﹣20，0，10，20，30，50，60，，，，，，，，，∴ξ的分布列為：ξ﹣30﹣2001020305060PE（ξ）＝+10×+20×+30×+50×+60×＝．（3）由（2）得這位參賽者闖關成功的概率為．2．甲、乙兩位選手在某次比賽的冠、亞軍決賽中相遇，賽制為三局兩勝（當一方贏得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結束），比賽每局均分出勝負．甲、乙以往進行過多次比賽，若從中隨機抽取20局比賽結果作為樣本，抽取的20局中甲勝12局、乙勝8局，若將樣本頻率視為概率，各局比賽結果相互獨立．（1）求甲獲得冠軍的概率；（2）此次決賽設總獎金50萬元，若決賽結果為，則冠軍獎金為35萬元，亞軍獎金為15萬元；若決賽結果為，則冠軍獎金為30萬元，亞軍獎金為20萬元．求甲參加此次決賽獲得獎金數的分布列和數學期望．解：（1）用樣本頻率估計概率可知，每局比賽甲獲勝的概率為．每局比賽乙獲勝的概率為，甲獲得冠軍的概率．（2）由題意知，的所有可能的取值為35，30，20，15，，，，，的分布列為：35302015（萬元）．3．甲、乙兩人組成“虎隊”代表班級參加學校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動，每輪活動由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動中，如果兩人都投中，則“虎隊”得3分；如果只有一個人投中，則“虎隊”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊”得0分．已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動中甲、乙投中與否互不影響．各輪結果亦互不影響．（1）假設“虎隊”參加兩輪活動，求：“虎隊”至少投中3個的概率；（2）①設“虎隊”兩輪得分之和為，求的分布列；②設“虎隊” 輪得分之和為，求的期望值．（參考公式解：（1）設甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊”至少投中3個記作事件，則（C）．（2）①“虎隊”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，則，，，，，．故的分布列如下圖所示：012346②有可能取為0，1，3，，，，，設“虎隊” 輪得分之和為，則的期望值．4．在某市舉辦的“中華文化藝術節(jié)”知識大賽中，大賽分預賽與復賽兩個環(huán)節(jié)．預賽有4000人參賽．先從預賽學生中隨機抽取100人成績得到如圖頻率分布直方圖：（1）若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機抽取2人，求至少1人成績不低于80分的概率；（2）由頻率分布直方圖可以認為該市全體參加預賽的學生成績服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學生的預賽平均成績，，試估計全市參加預賽學生中成績不低于91分的人數；（3）預賽成績不低于91分的學生可以參加復賽．復賽規(guī)則如下：①每人復賽初始分均為100分；②參賽學生可在開始答題前自行選擇答題數量，每答一題需要扣掉一定分數來獲取答題資格，規(guī)定回答第，2，，題時扣掉分；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不扣分；④答完題后參賽學生的最后分數即為復賽分數．已知學生甲答對每題的概率為0.75，且各題答對與否相互獨立，若甲期望得到最佳復賽成績，則他的答題數量應為多少？（參考數據，若，則，，．解：（1）由題意得樣本中成績不低于60分的學生有人，其中成績優(yōu)良人數為人，則至少1人成績不低于80分的概率為；（2）由題意可知平均值，所以，又，則，所以，所以估計全市參加預賽學生中成績不低于91分的人數為人；（3）設為甲答對題數，則，所以，記甲答完題所加分數為，則，所以，依題意為獲取答題的資格，甲要花掉分數為，記甲答完題分數為，則，由于，所以當時，取得最大值為104.9，即成績的最大值為104.9時，道題量為7．5．第31屆世界大學生夏季運動會定于2021年8月18日日在成都舉行，成都某機構隨機走訪調查80天中的天氣狀況和當天到體育館打乒乓球人次，整理數據如表（單位：天）打乒乓球人次天氣狀況，，，晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頻率作為總體概率，隨機調查本市4天，設這4天中陰天的天數為隨機變量，求的分布列和數學期望．（2）假設陰天和晴天稱為“天氣好”雨天和雪天稱為“天氣不好”．完成下面的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當天的天氣有關． 人次人次天氣好  天氣不好  參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由題意可知隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4．設一天為陰天的概率為，則，故，，，，，．則的分布列為：01234故；（2）由題意可得的列聯(lián)表： 人次人次天氣好2530天氣不好205則．因為，所以有的把握認為一天中到體育館打乒乓球的人次與該市當天的天氣有關．6．有一種擊鼓游戲，規(guī)則如下：每局游戲有兩次機會，每次擊鼓要么出現(xiàn)“你真棒“，要么出現(xiàn)“再努力”，若擊鼓一次出現(xiàn)“你真棒”，則得10分，若出現(xiàn)“再努力”，則得﹣20分．設擊鼓一次出現(xiàn)“你真棒”的概率為α，且各次擊鼓相互獨立．（1）設每局游戲所得的分數為X，求X的分布列；（2）經過多次試玩該游戲，發(fā)現(xiàn)玩的局數越多，總分數越少，請你結合概率的知識確定α的取值范圍；（3）若擊鼓6次，求恰有3次出現(xiàn)“你真棒”的最大概率解：（1）X的所有可能取值為﹣40，﹣10，20．根據題意有：P（X＝﹣40）＝，P（X＝﹣10）＝，P（X＝20）＝．∴X的分布列為： X﹣40﹣1020 P（1﹣α）2 2（1﹣α）αα2（2）由（1）知，E（X）＝﹣40（1﹣α）2﹣10×2（1﹣α）α+20α2＝60α﹣40，由于玩的局數越多，總分數越少，∴60α﹣40＜0，得α＜，又α＞0，∴α的取值范圍為（0，）；（3）設ξ為擊鼓6次中出現(xiàn)“你真棒”的次數，則P（ξ＝3）＝，0＜α＜1．令f（α）＝20α3（1﹣α）3，0＜α＜1，則f′（α）＝60α2（1﹣α）2（1﹣2α），令f′（α）＞0，得0＜α＜，令f′（α）＜0，得＜α＜1，∴f（α）在（0，）上單調遞增，在（，1）上單調遞減，∴當α＝時，f（α）取得最大值，且f（）＝，故恰有3次出現(xiàn)“你真棒”的最大概率為．7．業(yè)余圍棋高手甲與專業(yè)圍棋高手乙進行比賽，為體現(xiàn)比賽的公平性，兩人約定，甲勝一局得2分，乙勝一局得1分．甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．（Ⅰ）比賽3局后，甲的得分為X，求X的分布列與數學期望；（Ⅱ）比賽若干局后，甲、乙兩人的得分之和若為n分，得分之和為n的概率為Pn，請寫出概率Pn，Pn﹣1，Pn﹣2（n≥3）之間的關系式，并求出Pn．解：（Ⅰ）由題意知甲獲勝得2分，獲勝的概率為，甲輸的概率為，甲得分X的可能取值為0，2，4，6，P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝，∴X的分布列為： X 0 2 4 6 P    E（X）＝＝2．（Ⅱ）甲、乙兩人得分之和為n時，即得分之和為n﹣1后，乙再勝一局，或得分之和為n﹣2后，甲再勝一局，∴，∴，∴數列{}是常數列，∵P1＝，P2＝＝，P3＝＝，∴＝1，P3+＝1，∴＝1，∴＝﹣（Pn﹣1﹣），∴Pn＝﹣，＝﹣（Pn﹣1﹣），∴數列{Pn﹣}是以﹣為首項，﹣為公比的等比數列，∴Pn﹣＝﹣×（﹣）n﹣1，∴Pn＝．8．某校高三年級舉行班小組投籃比賽，小組是以班級為單位，每小組均由1名男生和2名女生組成．比賽中每人投籃n次（n∈N*），每人每次投籃及相互之間投籃都是相互獨立的．已知女生投籃命中的概率均為，男生投籃命中的概率均為．（1）當n＝2時，求小組共投中4次的概率；（2）當n＝1時，若三人都投中小組獲得30分，投中2次小組獲得20分，投中1次小組獲得10分，三人都不中，小組減去60分，隨機變量X表示小組總分，求隨機變量X的分布列及數學期望．解：（1）①男生投中2次，女生投中2次的概率為×××+×××××4＝；②男生投中1次，女生投中3次的概率為×××××××＝；③男生投中0次，女生投中4次的概率為××＝，所以共投中4次的概率為++＝．（2）X的所有可能取值為30，20，10，﹣60，P（X＝30）＝×＝，P（X＝20）＝×××+××＝，P（X＝10）＝×+×××＝，P（X＝﹣60）＝×＝，所以X的分布列為 X 3020 10﹣60 P    數學期望E（X）＝30×+20×+10×+（﹣60）×＝． 

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