二輪大題專練50—隨機(jī)變量的分布列（獨(dú)立性檢驗(yàn)）1．近年來(lái)，我國(guó)肥胖人群的規(guī)模急速增長(zhǎng)，肥胖人群有著很大的健康隱患．目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（英文為BodyMassIndex，簡(jiǎn)稱BMI）來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是BMI＝，中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI＜18.5為偏瘦；18.5≤BMI＜23.9為正常；24≤BMI＜27.9為偏胖；BMI≥28為肥胖．某地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100名35歲以上成人的身體健康狀況，測(cè)量身高、體重并計(jì)算BMI數(shù)值．（1）根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為35歲以上成人肥胖與不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)有關(guān)？ 肥胖不肥胖總計(jì)經(jīng)常運(yùn)動(dòng)員工 4060不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)員工24 40總計(jì)  100參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k）0.250.100.0500.0100.0050.001k1.3232.7063.8416.6357.87910.828（2）如果視樣本的頻率視為概率，現(xiàn)隨機(jī)地從這個(gè)地區(qū)抽取經(jīng)常運(yùn)動(dòng)人群中的3人，不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)人群中的1人座談，記這4人中肥胖人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）填表如下： 肥胖不肥胖總計(jì)經(jīng)常運(yùn)動(dòng)員工204060不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)員工241640總計(jì)4456100所以K2＝≈6.926，因?yàn)?/span>6.926＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為肥胖與不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)有關(guān)．（2）“經(jīng)常運(yùn)動(dòng)且肥胖”的概率為＝，“經(jīng)常運(yùn)動(dòng)且不肥胖”的概率為＝，“不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)且肥胖”的概率為＝，“不經(jīng)常運(yùn)動(dòng)且不肥胖”的概率為＝，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，P（X＝0）＝（）3×＝，P（X＝1）＝××（）2×+（）3×＝，P（X＝2）＝×（）2××+××（）2×＝，P（X＝3）＝（）3×+×（）2××＝，P（X＝4）＝（）3×＝，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P     則數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．2．隨著人們生活水平的提高和對(duì)健康生活的重視，越來(lái)越多的人加入到了健身運(yùn)動(dòng)中．某健身房從參與健身的會(huì)員中隨機(jī)抽取了100人，對(duì)其每周參與健身的天數(shù)和2020年在該健身房的消費(fèi)金額（單位：元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖：平均每周健身天數(shù)不大于23或4不小于5男性會(huì)員人數(shù)203510女性會(huì)員人數(shù)10205若某人平均每周健身天數(shù)不小于5，則稱其為“健身達(dá)人”．該健身房規(guī)定年消費(fèi)金額不超過1600元的為普通會(huì)員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會(huì)員，超過3200元的為金牌會(huì)員．（1）已知金牌會(huì)員都是“健身達(dá)人”，現(xiàn)從這100位會(huì)員里的“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取2人，求他們都是金牌會(huì)員的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表： 男性會(huì)員女性會(huì)員是“健身達(dá)人”  不是“健身達(dá)人”  并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”和性別有關(guān)？（3）該健身機(jī)構(gòu)在2020年年底針對(duì)這100位會(huì)員舉辦一次消費(fèi)返利活動(dòng)，每位會(huì)員均可參與摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎(jiǎng)箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機(jī)圖案、2張印動(dòng)感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張．若摸到動(dòng)感單車的總次數(shù)為1，則獲得50元獎(jiǎng)勵(lì)；若摸到動(dòng)感單車的總次數(shù)為2，則獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)；若摸到動(dòng)感單車的總次數(shù)為3，則獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)，其他情況不予獎(jiǎng)勵(lì)．規(guī)定每個(gè)普通會(huì)員只能參加1次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)銀牌會(huì)員可參加2次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)金牌會(huì)員可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立）．試估計(jì)在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中該健身機(jī)構(gòu)的總支出．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.5000.2500.1000.0500.0100.005k00.4551.3232.7063.8416.6367.879解：（1）設(shè)事件A表示從這100位會(huì)員里的“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取2人都是金牌會(huì)員，則．（2）根據(jù)題意： 男性會(huì)員女性會(huì)員是“健身達(dá)人”105不是“健身達(dá)人”5530＝，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為是否為“健身達(dá)人”和性別有關(guān)系．（3）設(shè)一次摸獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，則X的所有可能取值為0，50，100，200，且，，，，故一次摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望值為，故總支出約為（28+60×2+12×3）×63.2＝184×63.2＝11628.8元．3．為了解成年人的交通安全意識(shí)情況，某中學(xué)組織學(xué)生進(jìn)行了一次全市成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查．隨機(jī)地抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中擁有駕駛證的占．這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在，范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上（含的為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖．（1）補(bǔ)全下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”與“擁有駕駛證”有關(guān)？ 擁有駕駛證沒有駕駛證總計(jì)具有很強(qiáng)安全意識(shí)22  不具有很強(qiáng)安全意識(shí)   總計(jì)  200（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機(jī)抽取3人，記“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附臨界值表：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）200人中擁有駕駛證的占，有80人，沒有駕駛證的有120人，由題意知，解得．所以具有很強(qiáng)安全意識(shí)的人有人，不具有很強(qiáng)安全意識(shí)的有160人．補(bǔ)全列聯(lián)表如下： 擁有駕駛證沒有駕駛證總計(jì)具有很強(qiáng)安全意識(shí)221840不具有很強(qiáng)安全意識(shí)58102160總計(jì)80120200計(jì)算得，有的把握認(rèn)為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”與“擁有駕駛證”有關(guān)．（2）由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知，抽到的每個(gè)成年人“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的概率為，所以的所有可能取值為0，1，2，3．則，，，．所以的分布列為：0123故．4．為了解使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)和使用手機(jī)情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示（不完整） 使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀520 學(xué)習(xí)成績(jī)一般   總計(jì) 3050（1）補(bǔ)充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；（2）現(xiàn)從如表 不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為，試求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）完成列聯(lián)表如下： 使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀52025學(xué)習(xí)成績(jī)一般151025總計(jì)203050，沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；（2）現(xiàn)從如表不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出9人，則從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀中抽取人，從學(xué)習(xí)成績(jī)一般中抽取人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望．5．教育部官方數(shù)據(jù)顯示，2020屆大學(xué)畢業(yè)生達(dá)到844萬(wàn)，根據(jù)相關(guān)調(diào)查，位于大城市的應(yīng)屆畢業(yè)生畢業(yè)后，有會(huì)留在該城市進(jìn)行就業(yè)，于是租房便成為這些畢業(yè)生的首選．為了了解應(yīng)屆畢業(yè)生房租支出的費(fèi)用，研究人員對(duì)部分畢業(yè)生進(jìn)行相關(guān)調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如圖所示．（1）求的值以及房租支出的平均值；（2）為了了解應(yīng)屆生選擇租房時(shí)考慮的主要因素，研究人員作出調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表所示，判斷是否有的把握認(rèn)為性別與選擇租房時(shí)考慮的主要因素具有相關(guān)性． 以距離上班地點(diǎn)的遠(yuǎn)近作為主要考慮因素以房租的高低作為主要考慮因素男生500300女生300400（3）由頻率分布直方圖，可近似地認(rèn)為城市應(yīng)屆畢業(yè)生房租支出服從正態(tài)分布，，若2020年該市區(qū)的應(yīng)急畢業(yè)生共有100萬(wàn)人，試根據(jù)本題信息估計(jì)畢業(yè)后留在該市且房租支出介于8.6百元到21.4百元之間的畢業(yè)生人數(shù)．附：參考公式：．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，，．解：（1）依題意，，解得；故；（2）在本次實(shí)驗(yàn)中，的觀測(cè)值，故有的把握認(rèn)為性別與選擇租房時(shí)考慮的主要因素具有相關(guān)性；（3）依題意，畢業(yè)后留在該市的應(yīng)屆畢業(yè)生人數(shù)為人，，故所求人數(shù)為．6．智慧課堂是指一種打破傳統(tǒng)教育課堂模式，以信息化科學(xué)技術(shù)為媒介實(shí)現(xiàn)師生之間、生生之間的多維度互動(dòng)，能有效提升教師教學(xué)效果、學(xué)生學(xué)習(xí)成果的新型教學(xué)模式．為了進(jìn)一步推動(dòng)智慧課堂的普及和應(yīng)用，市現(xiàn)對(duì)全市中小學(xué)智慧課堂的應(yīng)用情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表： 經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)農(nóng)村40  城市60  總計(jì)10060160從城市學(xué)校中任選一個(gè)學(xué)校，偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的概率是．（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)，并說(shuō)明理由；（2）在偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，按照農(nóng)村和城市的比例抽取6個(gè)學(xué)校進(jìn)行分析，然后再?gòu)倪@6個(gè)學(xué)校中隨機(jī)抽取2個(gè)學(xué)校所在的地域進(jìn)行核實(shí)，記其中農(nóng)村學(xué)校有個(gè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，．0.10.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯(lián)表， 經(jīng)常應(yīng)用偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用總計(jì)農(nóng)村404080城市602080總計(jì)10060160（2分）．（4分）所以有的把握認(rèn)為認(rèn)為智慧課堂的應(yīng)用與區(qū)域有關(guān)．（6分）（2）在偶爾應(yīng)用或者不應(yīng)用智慧課堂的學(xué)校中，農(nóng)村和城市的比例是，所以抽取的6個(gè)樣本有4個(gè)是農(nóng)村學(xué)校，2個(gè)是城市學(xué)校，從中抽取2個(gè)，則的可能取值為0，1，2．（7分），，．所以的分布列為：012（10分）的數(shù)學(xué)期望．（12分）7．某學(xué)校共有1000名學(xué)生，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在學(xué)校的月消費(fèi)情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，月消費(fèi)金額分布在450～950之間．根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示：將月消費(fèi)金額不低于750元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”．（Ⅰ）求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生月消費(fèi)金額的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費(fèi)金額落在[550，650），[750，850）內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高消費(fèi)群”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若樣本中屬于“高消費(fèi)群”的女生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性別”有關(guān)？ 屬于“高消費(fèi)群”不屬于“高消費(fèi)群”合計(jì)男   女   合計(jì)   （參考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（Ⅰ）由題意知100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，樣本平均數(shù)為＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670元．（Ⅱ）由題意，從[550，650）中抽取7人，從[750，850）中抽取3人，隨機(jī)變量X的所有可能取值有0，1，2，3．P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123 P    隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝+2×+3×＝．（Ⅲ）由題可知，樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費(fèi)群”的25人，其中女生10人；得出以下2×2列聯(lián)表：  屬于“高消費(fèi)群” 不屬于“高消費(fèi)群” 合計(jì) 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合計(jì) 25 75 100＝＝＞5.024，所以有97.5%的把握認(rèn)為概型學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與性別有關(guān)． 

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