二輪大題專練46—隨機(jī)變量的分布列（摸球類）1．一黑色袋里裝有除顏色不同外其余均相同的8個(gè)小球，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè)．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分、黃球每個(gè)記2分、紅球每個(gè)記3分、綠球每個(gè)記4分，以得分高獲勝．比賽規(guī)則如下：①只能一個(gè)人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先從袋中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再從袋子里摸出2個(gè)球；若摸出的不是綠色球，則再從袋子里摸出3個(gè)球，他的得分為兩次摸出的球的記分之和；④剩下的球歸對(duì)方，得分為剩下的球的記分之和．（1）若甲第一次摸出了綠色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（2）如果乙先摸出了紅色球，求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“甲第一次摸出了綠色球，甲的得分不低于乙的得分”為事件，因?yàn)榍虻目偡譃?/span>16，即事件指的是甲的得分大于等于8，則，（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再從袋子里摸出3個(gè)小球，則得分情況有：6分、7分、8分、9分、10分、11分，，，，，，，所以的分布列為：67891011所以的數(shù)學(xué)期望．2．某不透明紙箱中共有4個(gè)小球，其中1個(gè)白球，3個(gè)紅球，它們除了顏色外均相同．（1）一次從紙箱中摸出兩個(gè)小球，求恰好摸出2個(gè)紅球的概率；（2）每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取4次，記取到紅球的次數(shù)為，求的分布列；（3）每次從紙箱中摸取一個(gè)小球，記錄顏色后放回紙箱，這樣摸取20次，取得幾次紅球的概率最大？（只需寫出結(jié)論）．解：（1）設(shè)“一次從紙箱中摸出兩個(gè)小球，恰好摸出2個(gè)紅球”為事件，則從4個(gè)球中摸出2個(gè)，有種取法，都是紅球的取法有種，則（A）．（2）可能取0，1，2，3，4，，，，，．所以的分布列為01234（3）根據(jù)題意，紙箱中共有4個(gè)小球，其中1個(gè)白球，3個(gè)紅球，每次從紙箱中摸出一個(gè)小球，取出紅球的概率為，若連續(xù)摸取20次，摸到紅球次數(shù)的期望為，則摸到15次紅球的概率最大． 3．袋中有10個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個(gè)，白球7個(gè)．每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率．解：根據(jù)題意，設(shè)事件：第一次摸到紅球；事件：第二次摸到紅球，則事件：第一次摸到白球．（Ⅰ）袋中有10個(gè)球，第一次從10個(gè)球中摸一個(gè)共10種不同的結(jié)果，其中是紅球的結(jié)果共3種，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論，，前兩次都摸到紅球的概率，則；（Ⅲ），則（A），，則（B）；所以第二次摸到紅球的概率．4．某大型商場國慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：凡是一次性購物滿200元的顧客就可以從裝有3個(gè)紅球，5個(gè)白球（除顏色外，其他完全相同）的抽獎(jiǎng)箱中無放回地摸出3個(gè)小球，摸到紅球才能中獎(jiǎng)，摸到1個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)1元，摸到2個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)4元，摸到3個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元．活動(dòng)第一天有700人次購物滿200元，其中有140人次沒有參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)．（1）求活動(dòng)第一天購物滿200元的700人次中參與抽獎(jiǎng)的頻率；（2）設(shè)每次參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)所得獎(jiǎng)金的金額為元，求的分布列，并求活動(dòng)第一天該商場投入獎(jiǎng)金總金額的數(shù)學(xué)期望．解：（1）活動(dòng)第一天購物滿200元的700人次中參與抽獎(jiǎng)的頻率為．（2）的可能取值為0，1，4，10，，，，，則的分布列為：01410所以，故活動(dòng)第一天該商場投入獎(jiǎng)金總金額的數(shù)學(xué)期望為元．5．有三個(gè)同樣的箱子，甲箱中有2只紅球，6只白球，乙箱中有6只紅球，4只白球，丙箱中有3只紅球，5只白球．（1）隨機(jī)從甲、乙、丙三個(gè)箱子中各取一球，求三球都為紅球的概率；（2）從甲，乙、丙中隨機(jī)取一箱，再從該箱中任取一球，求該球?yàn)榧t球的概率．解：（1）根據(jù)題意，記事件：從甲箱中取一球?yàn)榧t球，事件：從乙箱中取一球?yàn)榧t球，事件：從丙箱中取一球?yàn)榧t球，記事件：取得的三球都為紅球，且事件，，相互獨(dú)立，所以，所以三球都為紅球的概率為．（2）記事件：該球?yàn)榧t球，事件：取甲箱，事件：取乙箱，事件：取丙箱因?yàn)?/span>，所以（C），所以該球?yàn)榧t球的概率為．6．一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．（1）記事件為“一次摸出2個(gè)球，摸出的球?yàn)橐粋€(gè)紅球，一個(gè)白球”．求（A）；（2）記事件為“第一次摸出一個(gè)球，記下顏色后將它放回袋中，再次摸出一個(gè)球，兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那?/span>”，記事件為“第一次摸出一個(gè)球，不放回袋中，再次摸出一個(gè)球，兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那?/span>”，求證：（C）（B）（A）．解：（1）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．記事件為“一次摸出2個(gè)球，摸出的球?yàn)橐粋€(gè)紅球，一個(gè)白球”．一次摸出2個(gè)球基本事件總數(shù)，其中摸出的球?yàn)橐粋€(gè)紅球，一個(gè)白球包含的基本事件個(gè)數(shù)，（A）．（2）證明：記事件為“第一次摸出一個(gè)球，記下顏色后將它放回袋中，再次摸出一個(gè)球，兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那?/span>”，（B），記事件為“第一次摸出一個(gè)球，不放回袋中，再次摸出一個(gè)球，兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那?/span>”，（C），（C）（B）（A）．7．袋中有大小形狀均相同的1白球、2黑球，現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲，約定摸出白球得2分，摸出黑球得1分．（Ⅰ）現(xiàn)約定有放回地摸球4次，得分為X，求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）當(dāng)游戲得分為n（n∈N*）時(shí)，游戲停止，記得n分的概率為pn，pn的和為Qn，Q1＝．（ⅰ）求Q2；（ⅱ）若Tn＝Qn+1﹣Qn，求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式．解：（Ⅰ）X的所有可能取值為4，5，6，7，8，得1分的概率為，得2分的概率為，則P（X＝4）＝（）4＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝，∴X的分布列為： X 4 5 67 8 P     ∴E（X）＝＝．（Ⅱ）（i）由題意得Q2＝＝．（ii）得n分分為兩種情形，第一種在得（n﹣2）分之后再摸出白球，得2分，第二種在得（n﹣1）分之后再摸出黑球得1分，∴當(dāng)n≥3時(shí)，Qn＝，則Tn+1＝Qn+2﹣Qn+1＝＝﹣（Qn+1﹣Qn）＝﹣，∴數(shù)列{Tn}是以為首項(xiàng)，﹣為公比的等比數(shù)列，∴Tn＝（﹣）n﹣1＝（﹣）n+1．  

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