二輪大題專練44—隨機(jī)變量的分布列（二項(xiàng)分布1）1．某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記提出的“為民服務(wù)孺子牛、創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛、艱苦奮斗老黃牛”的三牛精神，鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹(shù)．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹(shù)苗、、，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹(shù)苗的自然成活率為0.8，引種樹(shù)苗、的自然成活率均為．（1）任取樹(shù)苗、、各一棵，估計(jì)自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時(shí)的值作為種樹(shù)苗自然成活的概率．該農(nóng)戶決定引種棵種樹(shù)苗，引種后沒(méi)有自然成活的樹(shù)苗中有的樹(shù)苗可經(jīng)過(guò)人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹(shù)苗不能成活．①求一棵種樹(shù)苗最終成活的概率；②若每棵樹(shù)苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬(wàn)元，問(wèn)至少引種種樹(shù)苗多少棵？解：（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為：0123．（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值．①一棵樹(shù)苗最終成活的概率為．②記為棵樹(shù)苗的成活棵數(shù)，為棵樹(shù)苗的利潤(rùn)，則，，，，要使，則有．所以該農(nóng)戶至少種植700棵樹(shù)苗，就可獲利不低于20萬(wàn)元．2．為了解某市2021屆高三學(xué)生備考情況，教研所計(jì)劃在2020年11月、2021年1月和2021年4月分別進(jìn)行三次質(zhì)量檢測(cè)考試，第一次質(zhì)量檢測(cè)考試（一檢）結(jié)束后，教研所分析數(shù)據(jù)，將其中所有參加考試的理科生成績(jī)數(shù)據(jù)繪制成了扇形統(tǒng)計(jì)圖，分?jǐn)?shù)在，之間的理科學(xué)生成績(jī)繪制成頻率分布直方圖，已知參加考試的理科生有12000人．（1）如果按照上屆高三理科生的二本率來(lái)估計(jì)一檢的模擬二本線，請(qǐng)問(wèn)一檢考試的模擬二本線應(yīng)該是多少；（2）若甲同學(xué)每次質(zhì)量檢測(cè)考試，物理、化學(xué)、生物及格的概率分別為，，，請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)參加三次質(zhì)量檢測(cè)考試，物理、化學(xué)、生物三科中至少2科及格的次數(shù)分布列及期望．解：（1）540分以上的頻率為：，要達(dá)到的二本率，所以，之間頻率為：，因?yàn)?/span>，的頻率總和為．所以模擬二本線應(yīng)在，之間，設(shè)為，則，解得：，（2）至少2科及格的概率，，，，1，2，3，0123．3．某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測(cè)儀器的可靠性，已知每位專家評(píng)估過(guò)程相互獨(dú)立．（1）若安排兩位專家進(jìn)行評(píng)估，專家甲評(píng)定為“可靠”的概率為，專家乙評(píng)定為“可靠”的概率為，只有當(dāng)兩位專家均評(píng)定為“可靠”時(shí)，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機(jī)抽取4臺(tái)儀器，由兩位專家進(jìn)行評(píng)估，記評(píng)定結(jié)果不可靠的儀器臺(tái)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為進(jìn)一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺(tái)儀器都由三位專家進(jìn)行評(píng)估，若每臺(tái)儀器被每位專家評(píng)定為“可靠”的概率均為，且每臺(tái)儀器是否可靠相互獨(dú)立．只有三位專家都評(píng)定儀器可靠，則儀器通過(guò)評(píng)估．若三位專家評(píng)定結(jié)果都為不可靠，則儀器報(bào)廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺(tái)儀器評(píng)估費(fèi)用為100元，若回研究所返修，每臺(tái)儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺(tái)，研究所用于評(píng)估和維修的預(yù)算是3.3萬(wàn)元，你認(rèn)為該預(yù)算是否合理？并說(shuō)明理由．解：（1）記事件：一臺(tái)機(jī)器被評(píng)定為不合格，則，由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，4．由題意得：，所以，，，，，．故隨機(jī)變量的分布列為：01234所以；（2）該預(yù)算合理，理由如下：設(shè)每臺(tái)儀器用于評(píng)估和維修的費(fèi)用為元，則的可能取值為100，400，則，．所以，即，令，，，令解得，當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以實(shí)施此方案，100臺(tái)抽檢儀器的費(fèi)用期望值最高為元元，因此該預(yù)算合理．4．某市有兩家共享單車公司，在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的單車，已知黃、藍(lán)兩種顏色單車的投放比例為．監(jiān)管部門為了解兩種顏色單車的質(zhì)量，決定從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取5輛單車進(jìn)行體驗(yàn)，若每輛單車被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5輛單車中有3輛是藍(lán)色單車的概率；（2）在騎行體驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色單車存在一定質(zhì)量問(wèn)題，監(jiān)管部門決定從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測(cè)并規(guī)定若抽到的是藍(lán)色單車，則抽樣結(jié)束，若抽取的是黃色單車，則將其放回市場(chǎng)中，并繼續(xù)從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取下一輛單車，并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過(guò)4次．在抽樣結(jié)束時(shí)，已取到的黃色單車數(shù)量用表示，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)殡S機(jī)地抽取一輛單車是藍(lán)色單車的概率為2，用表示“抽取的5輛單車中藍(lán)色單車的個(gè)數(shù)”，則服從二項(xiàng)分布，即，所以抽取的5輛單車中有3輛是藍(lán)色單車的概率為；（2）隨機(jī)變量的可能取值為：0、1、2、3、，，，，．所以的分布列如下表所示：01234．5．“直播帶貨”是指通過(guò)一些互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)，使用直播技術(shù)進(jìn)行商品線上展示、咨詢答疑、導(dǎo)購(gòu)銷售的新型服務(wù)方式．某高校學(xué)生會(huì)調(diào)查了該校100名學(xué)生2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物的情況，這100名學(xué)生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)占男生總數(shù)的，女生中在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)占女生總數(shù)的．（1）填寫列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為校學(xué)生的性別與2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物有關(guān)？ 男生女生合計(jì)2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物   2020年未在直播平臺(tái)購(gòu)物   合計(jì)   （2）若把這100名學(xué)生2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物的頻率作為該校每個(gè)學(xué)生2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物的概率，從全校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記這4人中2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)與未在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)之差為，求的分布列與期望．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）列列聯(lián)表： 男生女生合計(jì)2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物4035752020年未在直播平臺(tái)購(gòu)物20525合計(jì)6040100．故沒(méi)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生的性別與220年在直播平臺(tái)購(gòu)物有關(guān)（5分）（2）設(shè)這4人中2020年在直播平臺(tái)購(gòu)物的人數(shù)為，則，1，2，3，4，且，，故，，0，2，4，，，，，．所以的分布列為024，，即．（12分）6．某研究院為了調(diào)查學(xué)生的身體發(fā)育情況，從某校隨機(jī)抽測(cè)120名學(xué)生檢測(cè)他們的身高（單位：米），按數(shù)據(jù)分成，，，，，這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高大于或等于1.59米的學(xué)生有20人，其身高分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120名學(xué)生身高在各組的身高的頻率估計(jì)整個(gè)學(xué)校的學(xué)生在各組身高的概率．（1）求該校學(xué)生身高大于1.60米的頻率，并求頻率分布直方圖中，，的值；（2）若從該校中隨機(jī)選取3名學(xué)生（學(xué)生數(shù)量足夠大），記為抽取學(xué)生的身高在，的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）由題意知，120名學(xué)生中身高大于1.6米的有18人，該校學(xué)生身高大于1.6米的頻率為，設(shè)為學(xué)生的身高，則，，，，，．（2）由（1）知學(xué)生身高在，的概率為，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，，，，的分布列為：01230.0270.1890.4410.343．7．2020年春，我國(guó)武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒，感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等癥狀，嚴(yán)重的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命．新型冠狀病毒疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，為了遏制病毒的傳播，危難時(shí)刻全國(guó)人民眾志成城、共克時(shí)艱．某校為了了解學(xué)生對(duì)新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校學(xué)生開(kāi)展網(wǎng)上防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從男生、女生中各隨機(jī)抽取20人，統(tǒng)計(jì)答題成績(jī)分別制成如下頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表：女生成績(jī)成績(jī)，，，，頻數(shù)7742規(guī)定：成績(jī)?cè)?/span>80分以上（含80分）的同學(xué)稱為“防疫明星”．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“防疫明星”與性別有關(guān)； 男生女生合計(jì)防疫明星   非防疫明星   合計(jì)   （2）以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校男生中隨機(jī)抽取4人，其中“防疫明星”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：參考公式其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由頻率分布直方圖可得：男生中成績(jī)大于等于80的頻率為，則男生中“防疫明星”的人數(shù)為人，“非防疫明星”人數(shù)為8人，由頻數(shù)分布表可得，女生中“防疫明星”的人數(shù)為6人，“非防疫明星”人數(shù)為14人，所以列聯(lián)表為： 男生女生合計(jì)防疫明星12618非防疫明星81422合計(jì)202040所以，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為“防疫明星”與性別有關(guān)；（2）從20名男生中隨機(jī)抽取1人，是防疫明星的概率為，從該校男生中隨機(jī)抽取4人，其中“防疫明星”的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：01234所以的數(shù)學(xué)期望為．8．某動(dòng)植物園游客行走示意圖如圖所示，每位游客進(jìn)園后選擇其中任意一條路線行走是等可能的．現(xiàn)有A，B，C，D，E5名游客結(jié)伴進(jìn)園游玩，并按箭頭方向入園后各自開(kāi)始自由行走，同時(shí)約定最后到出口集合．（Ⅰ）求游客A經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)的概率；（Ⅱ）若這5名游客中恰有X名游客經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)，求隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（Ⅰ）設(shè)A從入口開(kāi)始到出口經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)為事件M，A選中間的路的概率為，在前面岔路（猴山或鳥(niǎo)語(yǔ)林）到游樂(lè)場(chǎng)的概率為，這兩個(gè)事件互相獨(dú)立，∴選擇從中間一路走到游樂(lè)場(chǎng)的概率為P1＝＝，同理，選擇從右邊路線到游樂(lè)場(chǎng)的概率為P2＝＝，由于選擇中間路線和右邊路線行走的兩個(gè)事件彼此互斥，∴P（M）＝P1+P2＝＝，∴A從進(jìn)口開(kāi)始到出口經(jīng)過(guò)游樂(lè)場(chǎng)的概率為．（Ⅱ）隨機(jī)變量X所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，∴X的分布列為： X 0 123 4 5 P      E（X）＝+＝． 

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