二輪大題專練45—隨機(jī)變量的分布列（二項(xiàng)分布2）1．2019年9月1日央視《開學(xué)第一課》播出后，社會(huì)各界反響強(qiáng)烈，全國人民愛國主義熱情空前高漲，在新中國成立70周年前夕，上演了一次小高潮．某興趣小組為了了解某校學(xué)生對《開學(xué)第一課》的喜歡程度，從該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對該節(jié)目進(jìn)行打分，并把相關(guān)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果記錄如表：喜歡程度不喜歡喜歡非常喜歡分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)19183240以喜歡程度位于各區(qū)間的頻率代替喜歡程度位于該區(qū)間的概率．（1）試估計(jì)這100名學(xué)生對節(jié)目打分的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）為了感謝學(xué)生對該次調(diào)查統(tǒng)計(jì)的支持，興趣小組決定從全校隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，X表示所抽取的學(xué)生中來自“非常喜歡”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）∵0.01+0.09+0.18＜0.5，0.01+0.09+0.18+0.32＞0.5，∴中位數(shù)x∈[80，90），由0.01+0.09+0.18+（x﹣80）×＝0.5，解得x＝86.875，故中位數(shù)為86.875；由55×+65×＝85.1，得平均數(shù)為85.1；（2）從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生對節(jié)目喜歡程度為“非常喜歡”的概率為．X的可能取值為0，1，2，3，則P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．X的分布列為：X 0123 P    ∴E（X）＝0×＝．2．2020年初，新冠肺炎襲擊全國，某省由于人員流動(dòng)性較大，成為湖北外疫情最嚴(yán)重的省份之一，截止2月29日，該省已累計(jì)確診1349例患者（無境外輸入病例）．（1）為了了解新冠肺炎的相關(guān)特征，研究人員統(tǒng)計(jì)了他們的年齡數(shù)據(jù)，可以大致認(rèn)為，該省新冠肺炎患者的年齡Z服從正態(tài)分布N（54.8，15.22），請估計(jì)該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上的患者比例；（2）截至2月29日，該省新冠肺炎的密切接觸者（均已接受檢測）中確診患者約占10%，以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者確診發(fā)生的概率，每名密切接觸者是否確診相互獨(dú)立，現(xiàn)有密切接觸者20人，為檢測出所有患者，設(shè)計(jì)了如下方案：將這20名密切接觸者隨機(jī)地按n（n可以取2，4，5，10）個(gè)人一組平均分組，并將同組n個(gè)人每人抽取的一半血液混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)新冠病毒，則對該組的n個(gè)人抽取的另一半血液逐一化驗(yàn)，以化驗(yàn)次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，試確定使得20人的化驗(yàn)總次數(shù)最少的n的值．參考數(shù)據(jù)：若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973.0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35．解：（1）P（54.8﹣15.2＜X＜54.8+15.2）＝P（39.6＜X＜70）＝0.6826．P（Z≥70）＝＝＝0.1587＝15.87%．所以該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上（≥70）的患者比例為15.87%．（2）由題意，每名密切接觸者確診為新冠腦炎的概率均為，n的可能取值為2，4，5，10．且Xn～B（n，）對于某組n個(gè)人，化驗(yàn)次數(shù)Y的可能取值為1，n+1．P（Y＝1）＝，P（Y＝n+1）＝1﹣所以E（Y）＝1?+（n+1）[1﹣]＝n+1﹣n，則20人的化驗(yàn)總次數(shù)為f（n）＝[n+1﹣n]＝20[1+﹣]，經(jīng)計(jì)算f（2）＝13.8，f（4）≈11.8，f（5）≈12.2，f（10）≈15．所以，當(dāng)n＝4時(shí)符合題意，即按4人一組檢測，可是化驗(yàn)總次數(shù)最少．3．某學(xué)校為了了解同學(xué)們現(xiàn)階段的視力情況，對全校高三1000名學(xué)生的視力情況進(jìn)行了調(diào)查，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，繪制了頻率分布直方圖如圖： 前50名后50名近視4232不近視818（1）求a的值，并估計(jì)這1000名學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解視力與學(xué)生成績是否有關(guān)，對本年級名次在前50名與后50名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如上圖表格數(shù)據(jù)：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有95%把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)？（3）若報(bào)考某高校某專業(yè)的資格為：視力不低于5.0，以該樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市高三學(xué)生的視力，現(xiàn)從全市視力在4.8以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)，這4名同學(xué)中有資格報(bào)該校該專業(yè)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879其中．解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：（0.25+0.5+2a+1+1.75）×0.2＝1，解得a＝0.75．視力在4.4以下的頻率為：（0.5+0.75）×0.2＝0.25，視力在4.6以下的頻率為：（0.5+0.75+1.75）×0.2＝0.6，∴中位數(shù)在4.4至4.6之間，設(shè)中位數(shù)為x，則（x﹣4.4）×1.75＝0.5﹣0.25，解得x＝4.54，∴中位數(shù)為4.54．（2）K2＝＝≈5.2＞3.841，∴有95%把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)．（3）視力在4.8以上的同學(xué)中，視力在5.0以上的同學(xué)所占有比例為：＝，∴從全市視力在4.8以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)，這4名同學(xué)中有資格報(bào)該校專業(yè)的人數(shù)X～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××＝，P（X＝3）＝×＝，P（X＝4）＝（）4＝，∴X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P     E（X）＝4×＝1．4．2019年“非洲豬瘟”過后，全國生豬價(jià)格逐步上漲，某大型養(yǎng)豬企業(yè)，欲將達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬全部出售，根據(jù)去年的銷售記錄，得到銷售生豬的重量的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）根據(jù)去年生豬重量的頻率分布直方圖，估計(jì)今年生豬出欄（達(dá)到養(yǎng)殖周期）時(shí)，生豬重量達(dá)不到270斤的概率（以頻率代替概率）；（2）若假設(shè)該企業(yè)今年達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬出欄量為5000頭，生豬市場價(jià)格是8元/斤，試估計(jì)該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是多少萬元；（3）若從本養(yǎng)殖周期的生豬中，任意選兩頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的生豬數(shù)為隨機(jī)變量Y，試求隨機(jī)變量Y的分布列及方差．解：（1）估計(jì)生豬重量達(dá)不到270斤的概率為（0.0005+0.002）×40+0.005×30＝0.25．（2）生豬重量的平均數(shù)為180×0.02+220×0.08+260×0.2+300×0.32+340×0.24+380×0.1+420×0.04＝305.6（斤）．所以估計(jì)該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是305.6×8×5000＝1222.4（萬元）．（3）由（1）可得隨機(jī)選一頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的概率為，由題意可得隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0，1，2，則Y～B（2，），∴，，，∴隨機(jī)變量Y的分布列為Y012P∴隨機(jī)變量Y的方差．5．某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表．購買金額（元）[0，15）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）[75，90]人數(shù)101520152010（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān)． 不少于60元少于60元合計(jì)男 40 女18  合計(jì)   （2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)概率為p（每次抽獎(jiǎng)互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元．若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實(shí)際付款數(shù)X（元）的分布列并求其數(shù)學(xué)期望．附：參考公式和數(shù)據(jù)：．附表：k02.0722.7063.8416.6357.879P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005解：（1）2×2列聯(lián)表如下：  不少于60元 少于60元 合計(jì) 男 12 40 52 女 18 20 38 合計(jì) 30 60 90K，因此有95%的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān)；（2）由題意可得X的所有可能取值為65，70，75，80，且p＝，由題意隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B（3，），則P（X＝65）＝C，P（X＝70）＝C，P（X＝75）＝C，P（X＝80）＝C，所有X的分布列如下： X 65 70 75 80 P    期望E（X）＝65×．6．中國提出共建“一帶一路”，旨在促進(jìn)更多的經(jīng)濟(jì)增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉、波蘭蘋果、法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車、電子元件、農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市場．為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為900元．（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；（2）該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)組成，設(shè)為電子產(chǎn)品所需要維修的費(fèi)用，求的期望；（3）為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作．問：滿足什么條件時(shí)可以提高整個(gè)系統(tǒng)的正常工作概率？解：（1）該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能正常工作的概率為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，系統(tǒng)需要維修的概率為：．（2）設(shè)為需要維修的系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，則，且，的期望（元．（3）當(dāng)系統(tǒng)有5個(gè)元件時(shí)，原來3個(gè)電子元件中至少有1個(gè)元件正常工作，系統(tǒng)正常才正常工作，若前3個(gè)電子元件中有1個(gè)正常工作，同時(shí)新增的兩個(gè)必須都正常工作，則概率為，若前3個(gè)電子元件中有2個(gè)正常工作，同時(shí)新增的兩個(gè)至少有1個(gè)正常工作，則概率為：，若前3個(gè)電子元件都正常工作，則不管新增的兩個(gè)是否正常工作，系統(tǒng)均能正常工作，則概率為：，新增兩個(gè)元件后系統(tǒng)能正常一作的概率為：，由，由，得，時(shí)可以提高整個(gè)系統(tǒng)的正常工作概率． 7．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動(dòng)記載用戶每日健步的步數(shù)．某市大型企業(yè)為了了解其員工每日健步走的情況，從正常上班的員工中隨機(jī)抽取了2000人，統(tǒng)計(jì)了他們手機(jī)計(jì)步軟件上同一天健步的步數(shù)（單位：千步，假設(shè)每天健步的步數(shù)均在3千步至21千步之間）．將樣本數(shù)據(jù)分成[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布．（1）求圖中a的值；（2）設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)（單位：千步）近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算），取σ＝3.64，若該企業(yè)恰有10萬人正常上班的員工，試估計(jì)這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88，15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)；（3）現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取20人，其中有k名員工的日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的概率為P（X＝k），其中k＝0，1，2，…，20，當(dāng)P（X＝k）最大時(shí)，求k的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．解：（1）由0.02×2+0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.15×2+a×2+0.05×2+0.04×2+0.01×2＝1，解得a＝0.1，（2）μ＝4×0.04+6×0.04+8×0.1+10×0.1+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02＝12.16∴P（4.88≤Z≤15.8）＝P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+σ）＝＝0.8186，100000×0.8186＝81860，∴估計(jì)這些員中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88，15.8]范圍內(nèi)的人數(shù)約為81860人．（2）設(shè)從該企業(yè)中隨機(jī)抽取20人日健步步數(shù)在13千步至15千步內(nèi)的員工有X人，則X～B（20，0.2），∴P（X＝k）＝C20k?0.2k?0.820﹣k，k＝0，1，2，…，20，記f（k）＝＝＝，當(dāng)f（k）＞1時(shí)，k＜4.2，則P（X＝k﹣1）＜P（X＝k）當(dāng)f（k）＜1時(shí)，k＞4.2，則P（X＝k﹣1）＞P（X＝k），所以當(dāng)k＝4時(shí)，P（X＝k）最大． 

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