二輪大題專練49—隨機(jī)變量的分布列（正態(tài)分布）1．消費(fèi)扶貧是社會(huì)各界通過消費(fèi)來自貧困地區(qū)和貧困人口的產(chǎn)品與服務(wù)，幫助貧困人口增收脫貧的一種扶貧方式，是社會(huì)力量參與脫貧攻堅(jiān)的重要途徑．大力實(shí)施消費(fèi)扶貧，有利于動(dòng)員社會(huì)各界擴(kuò)大貧困地區(qū)產(chǎn)品和服務(wù)消費(fèi)，調(diào)動(dòng)貧困人口依靠自身努力實(shí)現(xiàn)脫貧致富的積極性，促進(jìn)貧困人口穩(wěn)定脫貧和貧困地區(qū)產(chǎn)業(yè)持續(xù)發(fā)展．某地為了解消費(fèi)扶貧對(duì)貧困戶幫扶情況．隨機(jī)抽取80戶進(jìn)行調(diào)查，并以打分來進(jìn)行評(píng)估．滿分為10分．如表是80戶貧困戶所打分?jǐn)?shù)X的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)．分?jǐn)?shù)X5678910頻數(shù)482024168（Ⅰ）求貧困戶所打分?jǐn)?shù)的平均值；（Ⅱ）若從打分不低于8分的貧困戶中，任意抽取兩戶的分?jǐn)?shù)和為Y，求Y的分布列；（Ⅲ）為了更好調(diào)查消費(fèi)扶貧對(duì)貧困戶幫扶情況．某地民政部門從本地20000戶貧困戶中抽取200戶對(duì)2020年的收入進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：收入（千元）[6，8）[8，10）[10，12）[12，14）[14，16）[16，18]頻數(shù)206060302010（ⅰ）求這200戶2020年消費(fèi)扶貧幫扶收入平均值和樣本方差s2（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ⅱ）假設(shè)所有參與貧困戶的收入X可視為服從正態(tài)分布N（μ，σ2）且μ與σ2可分別由（ⅰ）中所求的樣本平均數(shù)及樣本方差s2估計(jì)．若2021年計(jì)劃幫扶貧困戶的戶數(shù)是3174戶，根據(jù)調(diào)查，最低收入高于樣本平均數(shù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)（需說明理由）需要幫扶貧困戶最低收入．參考公式及數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．解：（Ⅰ）＝++＝．（Ⅱ）由題意可知Y的所有可能取值為16，17，18，19，20，P（Y＝16）＝＝，P（Y＝17）＝＝，P（Y＝18）＝＝，P（Y＝19）＝＝，P（Y＝20）＝＝，則Y的分布列為： Y 16 17 18 19 20 P     （Ⅲ）（i）根據(jù)表中給的數(shù)據(jù)，這200戶的平均值為：＝+＝11（千元）．這200戶的方差為：S2＝×（﹣4）2++＝6.8（千元）．（ii）由題意知＝0.1587，X～N（11，6.8），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（X＞μ+σ）＝＝0.1587．∴2021年份預(yù)測(cè)的需要幫扶貧困戶的最低收入約為13.69（千元）．2．為了了解揚(yáng)州市高中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了3000名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，制成如下的頻率分布表：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間（分鐘），，，，，，人數(shù)300600900450450300（1）從周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在，的學(xué)生中抽取3人，在，的學(xué)生中抽取2人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)推薦2人參加體能測(cè)試，記推薦的2人中來自，的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布表可認(rèn)為：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間服從正態(tài)分布，其中為周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．可以用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)從揚(yáng)州市所有高中生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在，之外的人數(shù)為，求（精確到；參考數(shù)據(jù)1：當(dāng)時(shí)，，，．參考數(shù)據(jù)，．解：（1）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，，012所以．（2），又，，所以，所以或，所以，所以．2．2020年新冠疫情以來，醫(yī)用口罩成為防疫的必需品．根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，過濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于直徑小于5微米的顆粒的過濾率必須大于．為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個(gè)醫(yī)用口罩，檢測(cè)其過濾率，依據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率服從正態(tài)分布．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，生產(chǎn)出的每個(gè)口罩彼此獨(dú)立．記表示一天內(nèi)抽取10個(gè)口罩中過濾率小于或等于的數(shù)量．（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）一天內(nèi)抽檢的口罩中，如果出現(xiàn)了過濾率小于的口罩，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查維修，試問這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理嗎？附：若隨機(jī)變量，則，，，．解：（1）抽取口罩中過濾率在，內(nèi)的概率，所以，所以，故．（2）由題意可知，所以．（3）如果按照正常狀態(tài)生產(chǎn)，由（1）中計(jì)算可知，一只口罩過濾率小于或等于的概率，，一天內(nèi)抽取的10只口罩中，出現(xiàn)過濾率小于或等于的概率，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事件．所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查維修．可見這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．3．某市教育科學(xué)研究院為了對(duì)今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質(zhì)量，對(duì)該市高三聯(lián)考理綜試卷的得分情況進(jìn)行了調(diào)研．從全市參加考試的考生中隨機(jī)抽取了100名考生的理綜成績，將數(shù)據(jù)分成7組：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]．并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求直方圖中x的值；（2）用頻率估計(jì)概率，從該市所有高三考生的理綜成績中隨機(jī)抽取3個(gè)，記理綜成績位于區(qū)間[220，260）內(nèi)的個(gè)數(shù)為y，求y的分布列及數(shù)學(xué)期望E（y）；（3）若變量S滿足P（μ﹣σ＜S≤μ+σ）≈0.6827，且P（μ﹣2σ＜S≤μ+2σ）≈0.9545，則稱S近似服從正態(tài)分布N（μ，σ2）．若該市高三考生的理綜成績近似服從正態(tài)分布N（225，225），則給予這套試卷好評(píng)，否則差評(píng)，試問：這套試卷得到好評(píng)還是差評(píng)？解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解得x＝0.0075；（2）用頻率估計(jì)概率，可得從該市所有高三考生的理綜成績中隨機(jī)抽取1個(gè)，理綜成績位于[220，260）內(nèi)的概率為（0.0125+0.0075）×20＝0.4，所以隨機(jī)變量y服從二項(xiàng)分布B～（3，0.4），故P（y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3，故y的分布列為 y0123 P0.216 0.4320.2880.064則E（y）＝3×0.4＝1.2；（3）記該市高三考生的理綜成績?yōu)?/span>z，由題意可知，P（210＜z＜240）≤P（200＜z＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827，P（195＜z＜255）≤P（180＜z＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545，所以z不近似服從正態(tài)分布N（225，225），所以這套試卷得到差評(píng)．4．某省高考曾經(jīng)使用過一段標(biāo)準(zhǔn)分制度，標(biāo)準(zhǔn)分是把學(xué)生考試的基礎(chǔ)分參與全省排出相對(duì)名稱，通過公式換算成標(biāo)準(zhǔn)分．高考后公布考生的標(biāo)準(zhǔn)分，而不公布基礎(chǔ)分．考生根據(jù)自己的標(biāo)準(zhǔn)分多少就可以大致估出自己在全省考生的名次．其標(biāo)準(zhǔn)分X是服從正態(tài)分布N（500，1002）的隨機(jī)變量．假設(shè)某學(xué)生的數(shù)學(xué)成績不低于600的概率為p0．（Ⅰ）求p0的值；（Ⅱ）某校高三的高考英語和數(shù)學(xué)兩科都超過600分的有5人，僅單科超過600分的共有8人，在這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中英語和數(shù)學(xué)雙科都超過600分的有ξ人，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．）解：（Ⅰ）由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（500，1002），∴μ＝500，σ＝100，P（X＞600）＝1﹣P（X≤600），由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可知P（x≤500）＝，則P（400＜X≤600）＝0.6826，則p0＝P（X＞600）＝1﹣P（X≤600）＝1﹣[P（X≤500）+P（400＜X≤600）]＝1﹣（）＝1﹣（0.5+0.3413）＝0.1587．（Ⅱ）英語和數(shù)學(xué)雙科都超過600分的有5人，僅單科超過600分的有8人，ξ的所有取值有0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列為：ξ 0 1 2 3 P    E（ξ）＝＝．5．5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)稱，是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一．2020年初以來，我國5G網(wǎng)絡(luò)正在大面積鋪開．A市某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)該市5G網(wǎng)絡(luò)服務(wù)質(zhì)量的滿意程度，從使用了5G手機(jī)的市民中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行了問卷調(diào)查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）由直方圖可認(rèn)為A市市民對(duì)5G網(wǎng)絡(luò)滿意度得分z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得s＝14.31．若A市恰有2萬名5G手機(jī)用戶，試估計(jì)這些5G手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間（56.19，99.12]的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）該調(diào)查機(jī)構(gòu)為參與本次調(diào)查的5G手機(jī)用戶舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人最多有10輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每一輪抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立，中獎(jiǎng)率均為．每一輪抽獎(jiǎng)，若中獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金為100元話費(fèi)且繼續(xù)參加下一輪抽獎(jiǎng)；若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．（ⅰ）求小王獲得900元話費(fèi)的概率；（ⅱ）求小王所獲話費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），即z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）≈0.9545．解：（1）由題意知樣本平均數(shù)為，所以（μ﹣σ，μ+2σ）＝（70.5﹣14.31，70.5+2×14.31）＝（56.19，99.12），而，故2萬名5G手機(jī)用戶中滿意度得分位于區(qū)間（56.19，99.12]的人數(shù)約為20000×0.8186＝16372（人）．（2）（ⅰ）小王獲得900元話費(fèi)表明其前9輪連續(xù)中獎(jiǎng)且第10輪未中獎(jiǎng)，故所求的概率為：．（ⅱ）由題意可求得所以．令，①則，②由①﹣②得，所以，所以小王所獲話費(fèi)總額X的數(shù)學(xué)期望：＝（元）．6．為檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研人員隨機(jī)選取200只小白鼠，并將該疫苗首次注射到這些小白鼠體內(nèi)．獨(dú)立環(huán)境下試驗(yàn)一段時(shí)間后檢測(cè)這些小白鼠的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值并制成如圖的頻率分布直方圖（以小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)值在各個(gè)區(qū)間上的頻率代替其概率）：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)200只小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；（2）若認(rèn)為小白鼠的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），且首次注射疫苗的小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值不低于14.77時(shí)，則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)，對(duì)第一次注射疫苗的200只小白鼠中沒有產(chǎn)生抗體的那一部分群體進(jìn)行第二次注射疫苗，約有16只小白鼠又產(chǎn)生了抗體．這里μ近似為小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值近似為樣本方差s2.經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92，假設(shè)兩次注射疫苗相互獨(dú)立，求一只小白鼠注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p（精確到0.01）．附：參考數(shù)據(jù)與公式≈2.63，若X～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．解：（1）由頻率分布直方圖可得：X12141618202224p0.040.120.280.360.100.060.04則；（2）∵μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77，∴，記事件A表示首先注射疫苗后產(chǎn)生抗體，則p（A）＝0.8414，可得，因此200只小白鼠首先注射疫苗后有200×0.8414≈168只產(chǎn)生抗體，有200﹣168＝32只沒有產(chǎn)生抗體．故注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率．

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