?二輪大題專練43—隨機變量的分布列（超幾何分布2）
1.受新冠疫情影響，高三學(xué)子按照停課不停學(xué)的模式在家進行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．現(xiàn)有兩款不同的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)APP，釘釘和希沃．需要了解兩款A(yù)PP實施網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的效果，針對某校老師對兩款A(yù)PP的滿意程度進行了問卷調(diào)查．現(xiàn)從老師對兩款A(yù)PP的評價（單位：分）中各隨機抽取20個樣本，根據(jù)評價作出如圖莖葉圖：

從低到高設(shè)置“不滿意”“滿意”和“很滿意”三個等級，在[0，80）內(nèi)為“不滿意”，在[80，90）為“滿意”，在[90，100]內(nèi)為“很滿意”．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖判斷哪款A(yù)PP更有利于老師開展網(wǎng)絡(luò)教學(xué)工作？并說明理由；
（Ⅱ）從對釘釘評價為“很滿意”或“滿意”的樣本中隨機抽取3個樣本，記這3個樣本中評價為“很滿意”的樣本數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（Ⅰ）設(shè)釘釘樣本的平均數(shù)為，希沃樣本的平均數(shù)為，
則＝（68+72+76+77+79+82+83+83+84+85+86+87+87+88+89+90+90+91+91+92）＝84．
＝（65+65+66+68+69+70+71+72+72+73+74+75+76+76+78+81+84+84+85+90）＝74.7．
∵＞，∴釘釘更令老師滿意．
（Ⅱ）由莖葉圖可知釘釘評價為“很滿意”或“滿意”的樣本數(shù)量為15個，“很滿意”的樣本數(shù)量為5個，
則從中隨機抽取3個樣本，X的所有可能取值為X＝0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列為：
X
0
1
2
3
P




E（X）＝＝1．
2．某高中學(xué)校為幫助學(xué)生充分認識自己的學(xué)習(xí)優(yōu)勢和興趣，做好個人職業(yè)規(guī)劃，組織學(xué)生參加政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門學(xué)科的測試并在其中選出一門最感興趣學(xué)科．學(xué)校在分析學(xué)生物理學(xué)科測試成績及興趣選擇時得到如表統(tǒng)計表：
物理成績（分數(shù)）
（0，60）
（60，80）
（80，100）
感興趣人數(shù)
4
66
170
不感興趣人數(shù)
57
463
140
學(xué)校在分析各學(xué)科被選擇為最感興趣學(xué)科的人數(shù)時發(fā)現(xiàn)選擇了政治、地理、歷史、生物的學(xué)生人數(shù)所占頻率為，為了了解學(xué)生職業(yè)規(guī)劃與學(xué)習(xí)興趣之間的關(guān)系，從各學(xué)科最感興趣人數(shù)中用分層抽樣的方法抽取15人進行分析．
（Ⅰ）一學(xué)生物理成績低于80分，估計他對物理感興趣的概率是多少？
（Ⅱ）在抽取的15名學(xué)生中將選擇物理、化學(xué)學(xué)科的學(xué)生分為一類，從此類學(xué)生中隨機抽取4人，其中選擇物理的學(xué)生人數(shù)記為X，試求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（Ⅰ）物理學(xué)科成績低于80分的人數(shù)為4+66+57+463＝590（人），
其中感興趣得人數(shù)為4+66＝70（人）．
估計他對物理感興趣的概率為P＝；
（Ⅱ）所有參加考試的人數(shù)為4+66+170+57+463+140＝900（人），
由題意知分層抽取15人的抽樣比為，
對物理感興趣的學(xué)生數(shù)為4+66+170＝240（人），
∴抽取的15名學(xué)生中選擇物理的人數(shù)為240×（人）．
對化學(xué)感興趣的學(xué)生數(shù)為900×（1﹣）﹣240＝180（人），
∴抽取的15名學(xué)生中選擇化學(xué)的人數(shù)為180×＝3（人）．
∴隨機抽取4人中選擇物理的學(xué)生人數(shù)X的所有可能取值為：1，2，3，4．
則P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
P（X＝3）＝，
P（X＝4）＝．
∴X的分布列為：
X
1
2
3
4
P




E（X）＝．
3．復(fù)旦大學(xué)附屬華山醫(yī)院感染科主任醫(yī)師張文宏在接受媒體采訪時談到：通過救治研究發(fā)現(xiàn)，目前對于新冠肺炎最有用的“特效藥”還是免疫力．而人的免疫力與體質(zhì)息息相關(guān)，一般來講，體質(zhì)好，免疫力就強．復(fù)學(xué)已有一段時間，某醫(yī)院到學(xué)校調(diào)查高二學(xué)生的體質(zhì)健康情況，隨機抽取12名高二學(xué)生進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根據(jù)此年齡段學(xué)生體質(zhì)健康標準，成績不低于80的為優(yōu)良．
（Ⅰ）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該學(xué)校全體高二學(xué)生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅱ）從抽取的12人中隨機選取3人，記X表示成績“優(yōu)良”的人數(shù)，求X的分布列和期望．
解：（1）抽取的12人中成績是優(yōu)良的頻率為，
故從該校全體高二學(xué)生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率是，
設(shè)“在該校全體高二學(xué)生中任選3人，至少有1人成績優(yōu)良”為事件A，
則．
（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，，，，，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P




．
4．近年，國家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，每門科目滿分均為150分．另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每門科目滿分均為100分．為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進行調(diào)查，其中，女生抽取45人．
（1）求n的值；
（2）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的n名學(xué)生進行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在“物理”和“地理”這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的一個不完整的2×2列聯(lián)表，請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

選擇“物理”
選擇“地理”
總計
男生

10

女生
25


總計



（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中抽取4人，設(shè)這4人中選擇“物理”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
附：，n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解：（1）由題意得，
解得n＝100．
（2）2×2列聯(lián)表為：

選擇“物理”
選擇“地理”
總計
男生
45
10
55
女生
25
20
45
總計
70
30
100

故有99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)．
（3）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9女生中有5人選擇“物理”，4人選擇“地理”．9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇“物理”的人數(shù)X可為0，1，2，3，4．
設(shè)事件X發(fā)生的概率為P（X），則，
，
，
，

所以X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P





數(shù)學(xué)期望．
5．某地舉行一場游戲，每個項目成功率的計算公式為Pi＝，其中Pi為第i個項目的成功率，Ri為該項目成功的人數(shù)，N為參加游戲的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對300人進行一次測試，共5個游戲項目．測試前根據(jù)實際情況，預(yù)估了每個項目的難度，如表所示：
項目號
1
2
3
4
5
游戲前預(yù)估成功率Pi
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
測試后，隨機抽取了20人的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如表：
項目號
1
2
3
4
5
實測成功人數(shù)
16
16
14
14
4
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計這300人中第5個項目的實測成功的人數(shù)；
（2）從抽樣的20人中隨機抽取2人，記這2人中第5個項目成功的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）游戲項目的預(yù)估難度和實測難度之間會有偏差，設(shè)P′i為第i個項目的實測成功率，并定義統(tǒng)計量S＝[（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣Pn）2]，若S＜0.05，則本次游戲項目的成功率預(yù)估合理，否則不合理，試檢驗本次測試對成功率的預(yù)估是否合理．
解：（1）因為20人中答對第5題的人數(shù)為4，
因此第5題的實測難度為＝0.2，
所以，估計240人中有240×0.2＝48（人）實測答對第5題．
（2）X的所有可能取值是0，1，2．
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝．
X的分布列為
X
0
1
2
P



E（X）＝0×+1×+2×＝＝．
（3）將抽樣的20名學(xué)生測試中第i題的實測難度作為240名學(xué)生測試中第i題的實測難度．列表如下：
題號
1
2
3
4
5
實測難度
0.8
0.8
0.7
0.7
0.2
S＝×[（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]＝0.012．
因為S＝0.012＜0.05，
所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的．
6．某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布，發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間[20，50]歲之間，對區(qū)間[20，50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習(xí)慣調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：
組數(shù)
分組
人數(shù)
第一組
[20，25）
2
第二組
[25，30）
a
第三組
[30，35）
5
第四組
[35，40）
4
第五組
[40，45）
3
第六組
[45，50]
2
（1）求a的值并畫出頻率分布直方圖；
（2）從被調(diào)查的20人且年齡在[20，30）歲中的投資者中隨機抽取3人調(diào)查對其P2P理財觀念的看法活動，記這3人中來自于區(qū)間[25，30）歲年齡段的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解：（1）a＝20﹣2﹣5﹣4﹣3﹣2＝4，
直方圖中小矩形的高度依次為＝0.02，
＝0.04，＝0.05，＝0.04，＝0.03，＝0.02，
頻率直方圖如圖

（2）隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，
所以P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列為
X
1
2
3
P



數(shù)學(xué)期望E（X）＝1×+2×+3×＝2．
7．《最強大腦》是大型科學(xué)競技類真人秀節(jié)目，是專注傳播腦科學(xué)知識和腦力競技的節(jié)目．某機構(gòu)為了了解學(xué)生喜歡《最強大腦》是否與性別有關(guān)，對某高中200名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：

喜歡《最強大腦》
不喜歡《最強大腦》
合計
男生
70


女生

30

合計



已知在這200名學(xué)生中隨機抽取1人抽到喜歡《最強大腦》的概率為0.6．
（1）判斷是否有90%的把握認為喜歡《最強大腦》與性別有關(guān)？
（2）從上述不喜歡《最強大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的節(jié)目類型，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考公式及數(shù)據(jù)：．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）由200×0.6＝120及已知數(shù)據(jù)知滿足題意的2×2列聯(lián)表如下表所示：

喜歡《最強大腦》
不喜歡《最強大腦》
合計
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合計
120
80
200
………………………（2分）
由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得到． ………………（5分）
因此沒有90%的把握認為喜歡《最強大腦》與性別有關(guān)；………………………（6分）
（2）由題意知，從不喜歡《最強大腦》的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，
其中女生有3人，男生有5人，隨機變量X的取值可能為0，1，2，3，……………………（7分）
，
，
，
． …………………………（11分）
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P




．…………………………（12分）
8．對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如圖：
分組
頻數(shù)
頻率
[10，15）
15
0.30
[15，20）
30
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
t
合計
M
1
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高三學(xué)生人數(shù)有500人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求其中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解：（1）由頻率統(tǒng)計表得：
[10，15）內(nèi)的頻數(shù)為15，頻率為0.30，
∴M＝＝50，
∴m＝50﹣15﹣30﹣2＝3，
p＝＝0.06，a＝＝0.12；
（2）由頻數(shù)分布表得區(qū)間[10，15）內(nèi)的頻率為0.3，
∴估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)為：
500×0.30＝150人；
（3）由（1）知，參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共5人，其中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人數(shù)為2人，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，其中參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人數(shù)X可能取值為0，1，2．
則P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，
則X的分布列為：
x
0
1
2
P



∴期望為E（X）＝．
9．2020年新春伊始，“新型冠狀病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常務(wù)委員會召開會議，研究新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央總書記習(xí)近平主持會議并發(fā)表重要講話．會議強調(diào)，疫苗關(guān)系人民群眾健康，關(guān)系公共衛(wèi)生安全和國家安全．因此，疫苗行業(yè)在生產(chǎn)、運輸、儲存、使用等任何一個環(huán)節(jié)都容不得半點瑕疵．國家規(guī)定，疫苗在上市前必須經(jīng)過嚴格的檢測，并通過臨床實驗獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

未感染病毒
感染病毒
總計
未注射疫苗
40
p
x
注射疫苗
60
q
y
總計
100
100
200
現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．
（1）求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)p，q，x，y的值；
（2）能否在犯錯誤概率不超過0.005的情況下，認為注射此種疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病例分析，然后從這5只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗情況進行核實，記其中未注射疫苗的小白鼠有X只，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
解：（1）所以，所以x＝100，
則y＝200﹣100＝100，p＝100﹣40＝60，q＝100﹣40＝60．
（2）由，
得，
所以能在犯錯誤概率不超過0.005的情況下，認為注射此種疫苗有效．
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例為3：2，
故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，2只已注射疫苗．
從中抽取3只，則X的取值為1，2，3，
，
，
，
所以X的分布列為：
X
1
2
3
P



所以．
10．在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速復(fù)工復(fù)產(chǎn)，為擴大銷售額，提升產(chǎn)品品質(zhì)，現(xiàn)隨機選取了100名顧客到公司體驗產(chǎn)品，并對體驗的滿意度進行評分．體驗結(jié)束后，該公司將評分制作成如圖所示的直方圖．
（1）將評分低于80分的為“良”，80分及以上的為“優(yōu)”．根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為體驗評分為“優(yōu)良”與性別有關(guān)．

良
優(yōu)
合計
男


40
女

40

合計



（2）為答謝顧客參與產(chǎn)品體驗活動，在體驗度評分為[50，60）和[90，100]的顧客中用分層抽樣的方法選取了6名顧客發(fā)放優(yōu)惠卡．若在這6名顧客中，隨機選取4名再發(fā)放紀念品，記體驗評分為[50，60）的顧客獲得紀念品數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：（1）列聯(lián)表下：

良
優(yōu)
合計
男
20
20
40
女
20
40
60
合計
40
60
100
由題得，，
所以能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為體驗評分為“優(yōu)良”與性別有關(guān)．
（2）由已知得體驗度評分為[50，60）和[90，100]的顧客分別有10人，20人，
則在隨機抽取的6人中評分為[50，60）有2人，評分為[90，100]有4人．
則X可能的取值有0，1，2，
，
，
，
則X的分布列為：
X
0
1
2
P



所以．



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這是一份大題專練訓(xùn)練47：隨機變量的分布列（比賽類）-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，共12頁。試卷主要包含了有一種擊鼓游戲，規(guī)則如下等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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