二輪大題專練36—導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式1）1．已知a是常數(shù)，函數(shù)f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若0＜a＜1，證明：f（ea）＞﹣1．（1）解：函數(shù)f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x的定義域為（0，+∞），又，①當(dāng)a≤0時，令f'（x）＝0，解得x＝1，當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)a＞0時，令f'（x）＝0，解得x＝1或x＝2a，（i）當(dāng)2a＜1，即時，當(dāng)2a＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)0＜x＜2a或x＞1時，f'（x）＞0，故f（x）在（2a，1）上單調(diào)遞減，在（0，2a），（1，+∞）上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)2a＝1，即時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)2a＞1，即時，當(dāng)1＜x＜2a時，f'（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1或x＞2a時，f'（x）＞0，故函數(shù)在（1，2a），上單調(diào)遞減，在（0，1），（2a，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，要證f（ea）＞﹣1，即證a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣1，即證（a﹣1）ea＞a3﹣1，因為0＜a＜1，也就是證明ea＜a2+a+1，即證，下面證明成立，令g（a）＝（0＜a＜1），則，當(dāng)0＜a＜1時，g'（a）＞0，故g（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以g（a）＞g（0）＝1，即成立．故f（ea）＞﹣1．2．已知函數(shù)為常數(shù)）．（1）若曲線在處的切線方程為，求，的值；（2）討論函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，時，求證：．解：（1），（1），（1），曲線在處的切線方程為：，即：，由題意：，，，；（2），，當(dāng)時，在上恒成立；當(dāng)時，令，即，解得，令，即，解得．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（3）證明：令，則，令，則，令得：   令得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1）（1），，，存在使，且當(dāng)或時，，當(dāng)，時，，在上遞增，在，上遞減，在上遞增，又（1），所以有：，即，．3．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，求證：．解：（1）由題意，得分①若，令，得，令，得故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；分②若，令，得，令，得故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；分③若，令，為常量函數(shù)，不存在單調(diào)性分（2）證明：當(dāng)時，，則證，即證，不等式兩端同時除以，即證，得，分記函數(shù)，則．設(shè)，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，（1）分所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以（1），即成立，故得證分4．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，若函數(shù)的極大值點為，證明：．解：（1）的定義域為，，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，②當(dāng)時，由，解得，，此時，當(dāng)，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，，時，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增．證明：（2），，當(dāng)時，即或時，令，則的兩個根為，，函數(shù)的極大值點為，，又，，，，由，可得，則，，，令，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，（1），故．5．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）若，求．解：（1）證明：，，，考慮到，，所以①當(dāng)，時，，此時，②當(dāng)，時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，③當(dāng)，時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)，時，，綜上所述，當(dāng)時，．（2）構(gòu)造函數(shù)，考慮到，，，，由（1）可知：在時恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，①若，則在，為負，為正，在，單調(diào)遞減，遞增，所以，而當(dāng)時，，故滿足題意．②若，，因為，所以，由零點存在定理，必存在，，使得，此時滿足時，，單調(diào)遞減，所以，矛盾，舍去，③若，，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，此時必存在，使得，此時滿足，時，，單調(diào)遞增，所以，矛盾，舍去，而當(dāng)時，當(dāng)，所以在，時，成立，單調(diào)遞增，，矛盾，舍去．綜上所述，．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：．（Ⅰ）解：因為，所以，當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則，所以，令，則，所以，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故（1），所以又因為，所以則，從而，所以．

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