?一輪大題專練8—導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式2）
1．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，．
解：（1）函數(shù)的定義域為，，
令，
當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，為二次函數(shù)，△，
①若△，即時，的圖象為開口向下的拋物線且，則，此時在上5單調(diào)遞減；
②當(dāng)△，即或時，令，解得，
當(dāng)時，的圖象為開口向下的拋物線，，
當(dāng)，，時，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，則，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，的圖象為開口向上的拋物線，，
當(dāng)，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)，，，則，單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此對任意恒有（1），即，
又，要證，只需證，
令，則，，
，
，則在，上單調(diào)遞增，又（1），
當(dāng)時，恒成立，則在，上單調(diào)遞增，又（1），
對任意恒有（1），即，即得證．
2．已知函數(shù)．
（1）求在處的切線方程；
（2）已知關(guān)于的方程有兩個實根，，當(dāng)時，求證：．
解：（1），
，，
故時的切線方程是，
即；
（2）證明：由（1）知：在遞減，在遞增，
，，
當(dāng)時，方程有2個實根，，則，，
令，
則，
令，則，
故在遞增，故，
故在遞增，故，故，
故，
故，
故時，，故，
故．
3．已知函數(shù)與．是自然對數(shù)的底數(shù)，
（1）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)；
（2）當(dāng)，時，證明：．
解：（1）令，，，
當(dāng)時，不滿足
當(dāng)時，，
，，，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，
（1），在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，，根據(jù)零點定理，在上存在唯一零點．
當(dāng)，，，
，，，，在上單調(diào)遞增，
（1），（e），
根據(jù)零點定理，在上存在唯一零點，
因此，根的個數(shù)為2個．
（2）
設(shè)，，，
在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，，
所以，，
要證明，僅需要證明，
設(shè)，
，
當(dāng)，，
在該區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，，
所以，，
綜上所述，當(dāng)，時，．
4．已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2），若有兩個零點，，且．求證：．（左邊和右邊兩個不等式可只選一個證即可）
解：（1），
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，解得，令，解得，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明：，令，則，
設(shè)，則，
易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且時，，當(dāng)時，，（1），
，
又，則，
①若證所證不等式的左邊，即，即證，
又（b），則，故即證，即證，
設(shè)（b），，則，
（b）在上單調(diào)遞減，
（b）（1），即得證；
②若證所證不等式的右邊，即，即證，即證，
又（a），即，故即證，即證，
設(shè)（a），，則，
（a）在單調(diào)遞減，故（a）（1），即得證．
5．已知函數(shù)，且函數(shù)與有相同的極值點．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：．
解：（1）令，解得，
易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值點為，
令，則由題意有，（1），解得，經(jīng)驗證符合題意，
故實數(shù)的值為1；
（2）由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，且，
當(dāng)時，（1），（3），
①當(dāng)，即時，對，不等式恒成立，即為恒成立，
則，
，
又，
此時的取值范圍為；
②當(dāng)，即時，對，不等式恒成立，即為恒成立，
則，
，
又，
此時的取值范圍為，
綜上，實數(shù)的取值范圍為，，；
（3）證明：所證不等式即為，
下證：，即證，
設(shè)，則，，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，
，
在單調(diào)遞減，
又時，，故，即；
再證：，即證在上恒成立，
設(shè)，，
在單調(diào)遞增，則，故，
綜上，，即得證．
6．已知函數(shù)．
（1）討論的極值情況；
（2）若時，，求證：．
解：（1）的定義域是，，
①時，，在上單調(diào)遞增，無極值，
②時，令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增，
故，無極大值；
綜上：時，在上單調(diào)遞增，無極值，
時，，無極大值；
（2）證明：①時，，使，
則，，此時成立，
②時，由（1）得時，，
，則，解得：，
故，
設(shè)，則，
為上的減函數(shù)，且，，
則存在唯一實數(shù)，，使得，，
當(dāng)時，，遞增，
當(dāng)，時，，遞減，
故當(dāng)時，的最大值是，
為，上的增函數(shù)，
時，，則，
故（a），原結(jié)論成立．


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