第四章 導(dǎo)數(shù)專練12—構(gòu)造函數(shù)證明不等式（2）1．已知函數(shù)在，上單調(diào)遞減．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)實(shí)數(shù)取最大值時(shí)，方程恰有二解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，，求證：．（注為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（Ⅰ）在，上單調(diào)遞減，在，上恒成立，在，上恒成立，在，上恒成立，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，定義域?yàn)?/span>，方程恰有二解方程恰有二解方程恰有二解方程恰有二解，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍為：．（Ⅲ）令，則，由，易得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（1），即：，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．2．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．解：（1）函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，無(wú)極小值，綜上：若存在極值，則的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，定義域是，只需證明即可，，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，（1），有唯一的實(shí)根，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值是，，．3．設(shè)，，已知函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為，可得，由切線方程為，可得，可得，由，可得，所以，；（Ⅱ）證明：，即證當(dāng)時(shí)，．先證：．因?yàn)?/span>，即，得證．再證：，因?yàn)?/span>，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，得證．由．即有，可得時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上可得，原不等式得證．4．已知函數(shù)，，且曲線在處的切線方程為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：．解：（Ⅰ）由已知得，，，，解得：．（Ⅱ）證明：設(shè)，則，由得；由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值為，當(dāng)時(shí)，，，，要證，則在上恒成立，只需使在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值也是最小值，為（1），即在上恒成立，原不等式成立．5．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1），函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒有減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），可化為，若，取，，不合題意，故必為正數(shù)，不等式，化為，令，有，由函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若，必有（a），得，①當(dāng)時(shí)，，可得；②當(dāng)時(shí)，令，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由（e），可得，由上知．6．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）時(shí)，，，，令，解得：，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，遞減，，時(shí)，，遞增；即在遞增，在，遞減，在，遞增；（2）時(shí)，，，，故在遞增，則（1），時(shí)，在上恒成立；（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2 ，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．   7．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．解：（1），令，解得：，令，解得：或，故在遞增，在遞減，在遞增；（2）證明：，設(shè)函數(shù)，則，令，解得：，令，解得：，故，則當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則，故在，上單調(diào)遞減，則（1），即，故，即，，，又，．8．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．解：（1）的定義域是，，①當(dāng)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，②當(dāng)，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，③當(dāng)時(shí)，令恒成立，故在遞增，無(wú)遞減區(qū)間，④當(dāng)，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，綜上：當(dāng)，在遞減，在遞增，當(dāng)，在遞增，在遞減，在遞增，當(dāng)時(shí)，故在遞增，無(wú)遞減區(qū)間，當(dāng)，在遞增，在遞減，在遞增；（2）證明：令，則，，在上單調(diào)遞增，（e），，設(shè)，，則，遞增，，即，，使得，即，且當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，在遞減，在，遞增，，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞減，，原命題成立．  

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