二輪大題專練38—導(dǎo)數(shù)（雙變量與極值點(diǎn)偏移問題1）1．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，且．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．解：（1）由，得，令，則或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在和 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且有兩個(gè)正根，（1），，的取值范圍為．（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，且．由（1）知，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞減，（1），，又 在 上單調(diào)遞減，，，要證，只需證，即證， 且， 成立．2．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．（1）求的取值范圍．（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，證明．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．方程在有兩個(gè)不同根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．又，即時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)增，在上單調(diào)減．故（e）．又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在時(shí)，，在在時(shí)，，故的草圖如右圖，，即．故的取值范圍為．（2）由（Ⅰ）可知，分別是方程的兩個(gè)根，      即，，設(shè)，作差得．得．要證明．只需證明，，即只需證明，令，則，只需證明，設(shè)  ，．函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），故成立．成立．3．已知函數(shù)．（1）若對任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．解：（1），則，由已知得：函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則’ ，令’ 得：，時(shí)，’ ，單調(diào)遞減，時(shí)，’ ，單調(diào)遞增，，，，且時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，函數(shù)’ 的圖象與直線有且只有兩交點(diǎn)．（2）證明：，’ ，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，方程’ 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，由（1）知：，，且，在區(qū)間，，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，又，恒成立，即，，又在，單調(diào)遞減，，要證，只須證，即證，設(shè)，則’ ，令，則’ ，所以在單調(diào)遞增，，即’ ，所以在單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，亦即．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，．①求的取值范圍；②證明：．解：（1）的定義域?yàn)?/span>，，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）①由（1）知，時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，由于時(shí)，，時(shí)，，所以，解得，故所求的取值范圍為；②證明：由題意：，，，要證，只要證，即．只要證即證，令，，（1），即成立，故原不等式成立．5．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明：（2），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），，（2），，，使得，要證，即證，，，又且在上單調(diào)遞增，需證，即證，，即證，，令，，，，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，得證，．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．1）解：的定義域?yàn)?/span>，．令，方程的判別式△，（ⅰ）當(dāng)△，即時(shí)，恒成立，即對任意，，所以在上單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)△，即或．①當(dāng)時(shí)，恒成立，即對任意，，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，由，解得，．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上，，在上，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，令，則，，所以，，所以，所以要證，只要證，即證，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，（1），即成立，所以成立．7．函數(shù)在上不單調(diào)．（1）求的取值范圍；（2）若，，，求證：．解：（1），根據(jù)題意知，在上有變號根，即方程在上有變號根，等價(jià)于方程在上有變號根，即方程在上有變號根，而當(dāng)時(shí)，，于是，得．（2）證明：函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，，當(dāng)時(shí)，的正負(fù)性與一致，令，該二次函數(shù)開口向上，對稱軸為：，且，，（1），故存在，使得，，，使得，即，均為一元二次方程的根，故，，故，其中，故由此，，故，令，，時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞減；故，，對，，恒成立．8．已知函數(shù)為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．解：（1），，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，△，成立，則有，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，△，由得或（舍，由得，令，解得：（舍或，故時(shí)，，故在遞增，時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在的單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明：由（1）知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，，不妨設(shè)，則在，上是減函數(shù)，故，，令，則，又，即，解得，故，，設(shè)，則，在，上為增函數(shù)，，所以． 

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