二輪大題專練37—導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式2）1．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的最小值；（2）求證：．解：（1）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以；（2）證明：要證，只需證明：對(duì)于恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，（1），所以存在使得，由，得即即即，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即．2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2 ，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．3．已知函數(shù)，恰好有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：存在實(shí)數(shù)，使；（Ⅱ）求證：．證明：（Ⅰ），，結(jié)合題意，，即存在2個(gè)不同正根，先考慮與相切，記切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，解得：，記，，則，令，解得：，故在遞減，在，遞增，且（1），（2），故存在唯一，使得成立，取，，則時(shí)，恰有2個(gè)極值點(diǎn)，得證；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，故，代入，得，設(shè)，，，由，得，即，則，時(shí)，，，，，故在，遞減，在，遞增，，，，，，故，即，而（2），故：．4．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證．解：（1），定義域是，則，設(shè)，其中△，故令，解得：又，故，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；（2）證明：要證，即證，即證，設(shè)，則，令，得，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（2），即，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，故，又，，故，故成立．5．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，證明：．參考數(shù)據(jù)：．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，（2）證明：①當(dāng)時(shí)，顯然有；②當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)（a）在時(shí)單調(diào)遞減，所以只需證明（1），即，令，則，顯然單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一，使，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，從而，所以，則，故待證不等式成立．6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若（1）且，證明：，；（3）記方程的三個(gè)實(shí)根為，，，若，證明：．解：（1）的定義域是，，令，解得或，，，故在遞增，在遞減，在遞增；（2）證明：由（1）知（1），若（1）且，則，要證，，即證，，令，則，故在遞增，在遞減，故（1）或，故（1），，，，故在恒大于0，即，；（3）當(dāng)時(shí)，，即的3個(gè)零點(diǎn)分別是，，，，令，解得，或，故在遞增，在遞減，在遞增，（1），（3），，，，又（4），，故，成立．

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