二輪大題專練40—導(dǎo)數(shù)（證明數(shù)列不等式1）1．若函數(shù)在，上為增函數(shù)．（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅱ）若，求證：且解：（Ⅰ）由已知：依題意得：對(duì)，恒成立對(duì)，恒成立即：（Ⅱ），在，上為增函數(shù)，時(shí)：即：設(shè)，，則對(duì)，恒成立，在為減函數(shù)，時(shí)：（1）即：綜上所證：且成立． 2．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)的最小值為（a），求（a）取最大值時(shí)實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，證明：（其中．（1）解：由題意，，由，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也為最小值，其最小值為（a）．由（a），得．（a）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，（a）在處取得最大值，而（1）．因此（a）取得最大值時(shí)，．（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有（1），即，即．令，，1，2，3，，，則，，．3．已知函數(shù)，，．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的值；（Ⅲ）求證：對(duì)一切大于2的正整數(shù)都成立．解：，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值（1）．由恒成立可得恒成立，設(shè)，則，故，，函數(shù)在處的切線方程為，恒成立．．由可知恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．令，，2，3，，，則，即，，，對(duì)一切大于2的正整數(shù)都成立．4．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立．解：（1）由，得，則，①當(dāng)時(shí)，，則在，上遞增，，在，上遞增，，②當(dāng)時(shí)，，則在，上遞減，，在，上遞減，，且僅有，時(shí)，不等式不恒成立，③當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，，在，上遞減，從而，在，上遞增，即，且僅有，時(shí)，不等式不恒成立，綜上，的取值范圍為：．（2）要證對(duì)，不等式恒成立，即證，即證，即證①，且②，對(duì)①相當(dāng)于（1）中，有在，上遞減，即而且僅有，取，有成立，對(duì)②相當(dāng)于（1）中，有，，而且僅有，取，有成立，對(duì)，不等式恒成立．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有恒成立，求的取值范圍．（Ⅲ）求證：，．解：（Ⅰ）由，①當(dāng)時(shí)，顯然；②當(dāng)時(shí)，由得，顯然當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；（Ⅱ）由（Ⅰ）問知，當(dāng)時(shí)，遞增，且，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，即，依題意，①①式可化為，而由超越不等式知：時(shí)取到等號(hào)），所以比較上下兩式可以發(fā)現(xiàn)，即時(shí)取到等號(hào)），下面給出其證明：令（a），，則（a），于是（a）時(shí)，，同理知當(dāng)時(shí)，（a）有極大值也是最大值，所以（a）（1）②比較①②式可得，（a），即為所求． （Ⅲ）由（Ⅱ）知對(duì)，有，于是令，則有即有，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以有即，即證．6．設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時(shí)證明不等式：．解：（1），當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)，，解得，，，①當(dāng)時(shí)，，，，得，，得，②當(dāng)時(shí)，，，，得，，，得；綜上可得，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，；（2）時(shí)，，令，在恒正，在，遞增，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)任意的為正整數(shù)，取，有，則．

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