二輪大題專練35—導(dǎo)數(shù)（最值與極值問(wèn)題）1．函數(shù)．（1）討論在其定義域上的單調(diào)性；（2）設(shè)，，分別為的極大值和極小值，若，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有相異兩根，設(shè)，，，令所以，或；令，；在上遞增，在，上遞減，在，上遞增．（2）依題意可知，在內(nèi)有相異兩根，所以△，又，可得，此時(shí)設(shè)的兩根為，，，，，，由，且，得．，由，得代入上式，得，令，所以，，則，，在上為減函數(shù)，從而，即，．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求的取值范圍；②證明的極小值小于．解：（1）當(dāng)時(shí)，．，．又，在點(diǎn)，處的切線方程為．（2）①的定義域?yàn)?/span>，．令，△，的對(duì)稱軸．當(dāng)△時(shí)，即，，故，在上單調(diào)遞增．此時(shí)無(wú)極值．當(dāng)△時(shí)，即，，，函數(shù)在區(qū)間有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，其中，．當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，在，上單調(diào)遞增．當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．②由①可知，函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)為，且．又，．．．令，在上恒成立，在單調(diào)遞減．，即的極小值小于．3．已知（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（3）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)，使，，函數(shù)有最小值？解：（1）當(dāng)時(shí)，，，由，解得或；由，解得，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：，，單調(diào)增區(qū)間為：；（2），①當(dāng)，由得到，即增區(qū)間為；②當(dāng)，，得到，即增區(qū)間為，；③當(dāng)，，得到或，即增區(qū)間為，，，④當(dāng)，，即增區(qū)間為；⑤當(dāng)，，得到或，即增區(qū)間為，．（3）假設(shè)存在負(fù)實(shí)數(shù)，使，，函數(shù)有最小值．因，由②分兩類（依據(jù)：?jiǎn)握{(diào)性，極小值點(diǎn)是否在區(qū)間，上是分類“契機(jī)” ①當(dāng)，當(dāng)，，，遞增，，即，解得；②當(dāng)，由單調(diào)性知：，化簡(jiǎn)得：，解得，不合要求．綜上，存在這樣的負(fù)數(shù)，且為所求．4．已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)且時(shí)，求證：函數(shù)的最小值小于．解：（1），，依題意有，即，解得：；（2），當(dāng)，即時(shí)，由，得或；  由，得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，故在，，上遞增，在上遞減．（3）當(dāng)，且時(shí)，由（2）知函數(shù)在上遞減，在，上遞增，所以時(shí)，，令（a），，則（a），，則（a）在上恒成立，所以（a）在上是減函數(shù)，所以（a）（2），所以（a）在上是減函數(shù)，所以（a）（2），即函數(shù)的最小值小于．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）若在處取到極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求的取值范圍．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，，在處取到極值，，解得：，時(shí)，，，故在遞增，而，故時(shí)，，時(shí)，，在遞減，在遞增，故是的極小值點(diǎn)，符合題意；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ），令，得，即存在，使得①，兩邊取對(duì)數(shù)得：，使得時(shí)，，，時(shí)，，故在遞減，在，遞增，故，①兩邊取對(duì)數(shù)得：，②結(jié)合①②故，令，則，則，故在遞減，而（1），故時(shí)，，即時(shí)，，此時(shí)，．6．已知函數(shù)與在公共點(diǎn)處有共同的切線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若存在，使得當(dāng)，時(shí)，的值域是，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），，（1分）由題意知（1）（1），（2分）即，得．（3分）（2）由題得，定義域?yàn)?/span>，．（4分）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，時(shí)，（1），的值域是，，不符合題意；（6分）②當(dāng)時(shí)，，（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意，（7分）（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，的變化情況如下：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減只需滿足（2）（1），且，解得；（9分）（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，，的變化情況如下：100單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減若滿足題意，只需滿足，即，即只需滿足，設(shè)，，所以（a）在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以滿足題意；（11分）綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（12分） 

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