二輪大題專練34—導數(shù)（零點個數(shù)問題2）1．已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若在區(qū)間，上有兩個零點，求的取值范圍．解：（1）的定義域為，，令，可得或，下面分三種情況．①當時，可得，由，得，由，得，此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，1．②當時，由，得或，由，得，此時的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．③當時，，在區(qū)間上單調遞增．（2）由（1）得，當時，在處取得最小值，、且在區(qū)間，內先減后增，又，，要使得在區(qū)間，上有兩個零點，必須有且，由此可得，當時，，顯然在區(qū)間，上不存在兩個零點．當時，由（1）得在區(qū)間，內先減后增，又，，故此時在區(qū)間，上不存在兩個零點．當時，由（1）得在區(qū)間，內先增，先減，后增．又（a），，故此時在區(qū)間，上不存在兩個零點．當時，由（1）得在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間，上不存在兩個零點．綜上，的取值范圍是，．2．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，其中．（1）當時，若，求的單調區(qū)間；（2）若在上恰有三個零點，求的取值范圍．解：（1）當時，令，則，當時，，在上單調遞減；當時，在上單調遞增．（1）．在上單調遞增．（2），的零點，令，可得，設，，令，得，且，當時，，單調遞增且，；當時，，單調遞減且；當時，，單調遞增且，作圖的大致圖象，如圖所示，由圖象可知，當時，與的圖象有三個交點，即有三個不同的零點，的取值范圍是．3．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，，令，，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間．（2）若有兩個極值點，即有兩個變號零點．令，（ⅰ）當時，在上單調遞減，最多只有一個零點，不合題意；（ⅱ）當時，，最多只有一個零點，不合題意．（ⅲ）當時，令，得；當，，當，；所以在單調遞減，在單調遞增，則，而當時，，，又，根據(jù)零點存在性定理可知．，使得，，令，則式所以，使得，又在單調遞減，在單調遞增，故在有唯一零點，在上有唯一零點．綜上知：若有兩個極值點，的取值范圍為．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）函數(shù)，當時，討論零點的個數(shù)．解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當時，，所以在上單調遞減，②當時，令，得，若，，若，，所以在單調遞減，在單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞減，當時，在單調遞減；在單調遞增．（2），設函數(shù)，，因為，所以得，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以當時，取最小值，最小值為（1），若時，（1），所以函數(shù)只有1個零點，若時，（1），所以函數(shù)無零點，若時，（1），，，故（1），（1），所以函數(shù)在和各有一個零點，所以函數(shù)有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)只有1個零點；當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)有兩個零點．5．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調性；（2）設函數(shù)，討論當時，函數(shù)的零點個數(shù)．解：（1）的定義域為，，，因為在上單調遞增，且（1），所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而當時，（1），單調遞增，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；（2）函數(shù)，，令，得，令，則函數(shù)在的零點個數(shù)問題即直線與函數(shù)的圖象在上的交點個數(shù)，又，令，，，的變化如下：10所以在上單調遞增，又因為當時，，，①當時，直線與函數(shù)圖象在上有1個交點，即在上零點個數(shù)為1個．②當時，直線與函數(shù)的圖象在上沒有交點，即在上零點個數(shù)為0個．綜上，當時，在上零點個數(shù)為0個．當時，在上零點個數(shù)為1個．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（Ⅲ）設函數(shù)，，試判斷的零點個數(shù)，并證明你的結論．解：（Ⅰ）由，得．（1），（1），曲線在點，（1）處的切線方程為．（Ⅱ）令，得，解得或．當變化時，和變化情況如下表：00的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，；在處取得極大值，在處取得極小值．（Ⅲ）當時，令，可得，．設，，則．①當時，，在區(qū)間上單調遞增．又，，在區(qū)間上有一個零點．②當時，設．，在區(qū)間上單調遞增．又，，存在，使得．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．又，，在區(qū)間上無零點．綜上，函數(shù)在定義域內只有一個零點．7．已知函數(shù)，．（1）當，討論在上的零點個數(shù)；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，則，令，解得，當，，在單調遞減，當，，在單調遞增，所以是的極小值點同時也是最小值點，即，當，即時，在上沒有零點；當，即時，在上只有1個零點；當，即時，因為，所以在只有一個零點，又因為（b），令，則，令，解得，當，，在單調遞增，當，，在單調遞減，又，所以對，，所以（b），即，所以（b），所以在內只有一個零點，所以在上有兩個零點．綜上所述，當時，在上有兩個零點；當時，函數(shù)在上沒有零點；當時，函數(shù)在上有一個零點．（2）恒成立，，即，所以，構造，所以，則在上單調遞增，只需，即恒成立，令，，當時，，所以在單調遞減，當時，，所以在單調遞增，所以（2），即，又，所以．     

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