二輪大題專練39—導(dǎo)數(shù)（雙變量與極值點偏移問題2）1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）當(dāng)時，求證：對任意的，，，且，有．解：（1）當(dāng)時，，，可得（1），（1），所以曲線在點，（1）處的切線方程為，即．（2）依題意，，從而可得，整理可得：，令，解得，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為（1），無極大值．（3）證明：由，得．對任意的，，，且，令，則①，令，，，當(dāng)時，，由此可得在，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，（1），即，因為，，，所以②，由（1）、（2）可知，當(dāng)時，（1），即，故③，由①②③可得，故當(dāng)時，任意的，，，且，有．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，．①求實數(shù)的取值范圍；②證明：．解：（1）當(dāng)時，，，，（1），又，曲線在點，（1）處的切線方程是；（2）函數(shù)有兩個不同的零點，，等價于方程有兩個不同實根，．①令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取得最大值，由于（1），當(dāng)時，；當(dāng)，，的大致圖象如圖所示．當(dāng)，即時，函數(shù)有兩個不同的零點，，故實數(shù)的取值范圍是；②證明：不妨設(shè)，，，兩式相加得，兩式相減得，．要證，只需證，即證，設(shè)，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且（1），，即．3．已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)兩個極值點分別為，，證明：．解：（1）由題意得，的定義域是，，令，函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于在上2個零點，，當(dāng)時，在上，，遞減，不滿足題意，當(dāng)時，在上，，遞增，在，上，，遞減，要使在上2個零點，只需，即，解得：，故的范圍是；（2）由（1）可知，，，兩式相減可得①，，要證明，只需證明，即證明，②，把①代入②整理得：，令，即證明，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在遞減，故（1），故，命題得證．4．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在，（1）處的切線方程；（2）設(shè)存在兩個極值點，，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）時，，故（1），又（1），故切線過，切線方程是：；（2），，令，得，存在兩個極值點，，△，故，，故，故，，由恒成立，得，令，，，，故，故在遞減，故，故，即實數(shù)的范圍是，．5．已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；（2）當(dāng)時，，，，恒成立，求的取值范圍．解：（1）由函數(shù)解析式知：，由題意，得（3），故．經(jīng)檢驗，滿足題意．（2）由已知，當(dāng)時，只需，，．．①當(dāng)時，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．所以，而，，故．所以，解得（舍去）．②當(dāng)時，在，單增，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．由于，所以只需，即，所以．③當(dāng)時，，在，單調(diào)遞增，所以，滿足題意．④當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．由于，所以只需，即，所以．綜上，可得．6．已知函數(shù)與有相同的定義域．（1）解關(guān)于的不等式；（2）若方程有兩個相異實數(shù)根，，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，證明：．（參考結(jié)論：，（1）解：已知函數(shù)與有相同的定義域，所以與的定義域都是，方程的判別式△，①當(dāng)△，即時，在上恒成立；②當(dāng)△，即時，的根為，所以的解集為，且；③當(dāng)△，即時，的兩根為，，若，則，所以的解集為，或；若，則，所以的解集為．綜上所述：當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為或；當(dāng)時，的解集為，且；當(dāng)時，的解集為．（2）證明：由（1）知，若方程有兩個相異實數(shù)根，，則，且，，因為在，上是減函數(shù)，所以，所以．因為時，，又，所以．因為，且，所以，所以，所以．7．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點，（1）處的切線方程為，求，的值及的極值；（2）若，對，，，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域為，，．函數(shù)在點，（1）處的切線方程為，（1），，，，．令，得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：100單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增的極小值為（1），極大值為．（2）當(dāng)時，．不等式，可化為為．令．由題可得，對，，，當(dāng)時，不等式恒成立，即在，上單調(diào)遞減．在，上恒成立，即在，上恒成立．令，則在，上恒成立．在，上單調(diào)遞增，（2），，實數(shù)的取值范圍為，．8．已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個極值點，且證明：．解：（1）由，得，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，則，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時，，，則的定義域為，由有兩個極值點，，且，可知方程的判別式△，且，，，且，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，（1），． 9．已知函數(shù)在和時取極值，且．（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范圍．解：（1），，在和時取極值，，，是的兩個不等實根，，，解得，經(jīng)檢驗，符合題意．（4分）（2）由（1）知，，，是的兩個不等實根，，，，，（8分）設(shè)（a），，，①又，是的兩個不等實根，△，得，②由①②知，（10分）而（a），設(shè)（a），則，（2），由二次函數(shù)的性質(zhì)可知（a）在上恒成立，則（a）在上恒成立，則（a）在上單調(diào)遞減，而，（2），故的取值范圍為．（12分）   

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