一輪大題專練8—導(dǎo)數(shù)（構(gòu)造函數(shù)證明不等式2）1．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．解：（1）函數(shù)的定義域為，，令，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，為二次函數(shù)，△，①若△，即時，的圖象為開口向下的拋物線且，則，此時在上5單調(diào)遞減；②當(dāng)△，即或時，令，解得，當(dāng)時，的圖象為開口向下的拋物線，，當(dāng)，，時，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時，的圖象為開口向上的拋物線，，當(dāng)，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)，，，則，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此對任意恒有（1），即，又，要證，只需證，令，則，，，，則在，上單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時，恒成立，則在，上單調(diào)遞增，又（1），對任意恒有（1），即，即得證．2．已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）已知關(guān)于的方程有兩個實根，，當(dāng)時，求證：．解：（1），，，故時的切線方程是，即；（2）證明：由（1）知：在遞減，在遞增，，，當(dāng)時，方程有2個實根，，則，，令，則，令，則，故在遞增，故，故在遞增，故，故，故，故，故時，，故，故．3．已知函數(shù)與．是自然對數(shù)的底數(shù)，（1）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)；（2）當(dāng)，時，證明：．解：（1）令，，，當(dāng)時，不滿足當(dāng)時，，，，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，（1），在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，根據(jù)零點定理，在上存在唯一零點．當(dāng)，，，，，，，在上單調(diào)遞增，（1），（e），根據(jù)零點定理，在上存在唯一零點，因此，根的個數(shù)為2個．（2）設(shè)，，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，，所以，，要證明，僅需要證明，設(shè)，，當(dāng)，，在該區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，，綜上所述，當(dāng)，時，．4．已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2），若有兩個零點，，且．求證：．（左邊和右邊兩個不等式可只選一個證即可）解：（1），當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：，令，則，設(shè)，則，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且時，，當(dāng)時，，（1），，又，則，①若證所證不等式的左邊，即，即證，又（b），則，故即證，即證，設(shè)（b），，則，（b）在上單調(diào)遞減，（b）（1），即得證；②若證所證不等式的右邊，即，即證，即證，又（a），即，故即證，即證，設(shè)（a），，則，（a）在單調(diào)遞減，故（a）（1），即得證．5．已知函數(shù)，且函數(shù)與有相同的極值點．（1）求實數(shù)的值；（2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：．解：（1）令，解得，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值點為，令，則由題意有，（1），解得，經(jīng)驗證符合題意，故實數(shù)的值為1；（2）由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，且，當(dāng)時，（1），（3），①當(dāng)，即時，對，不等式恒成立，即為恒成立，則，，又，此時的取值范圍為；②當(dāng)，即時，對，不等式恒成立，即為恒成立，則，，又，此時的取值范圍為，綜上，實數(shù)的取值范圍為，，；（3）證明：所證不等式即為，下證：，即證，設(shè)，則，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故存在唯一的，使得，即，，且當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞減，又時，，故，即；再證：，即證在上恒成立，設(shè)，，在單調(diào)遞增，則，故，綜上，，即得證．6．已知函數(shù)．（1）討論的極值情況；（2）若時，，求證：．解：（1）的定義域是，，①時，，在上單調(diào)遞增，無極值，②時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故，無極大值；綜上：時，在上單調(diào)遞增，無極值，時，，無極大值；（2）證明：①時，，使，則，，此時成立，②時，由（1）得時，，，則，解得：，故，設(shè)，則，為上的減函數(shù)，且，，則存在唯一實數(shù)，，使得，，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)，時，，遞減，故當(dāng)時，的最大值是，為，上的增函數(shù)，時，，則，故（a），原結(jié)論成立．

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