一輪大題專練5—導(dǎo)數(shù)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題1）1．設(shè)函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)，時(shí)，；（2）判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）證明：令，，在，上單調(diào)遞增注意到，存在唯一的使且當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；注意到，，，．（2），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．，在上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由（1）知，，無零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．，當(dāng)時(shí)，也無零點(diǎn)綜上：在上有唯一的零點(diǎn)．2．已知函數(shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)，則，①當(dāng)時(shí)，令，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，，的減區(qū)間為，由，，，（2），因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，；②當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，，的增區(qū)間為，由，，，（2），因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上的最小值為，最大值為1，則有，解得，．綜上所述，，或，；（2）①當(dāng)時(shí)，，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；當(dāng)，時(shí)，，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，由，，可得，由于，則在上恒成立，令，，故在上單調(diào)遞增，所以只需即可，，所以，所以的取值范圍是，．（2）的定義域?yàn)?/span>，，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，，，故存在，使得，即，即①，兩邊取對(duì)數(shù)得②，而在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，故，將①②代入上式得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故，即的取值范圍是．  4．設(shè)，為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿足．（注是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，由于，則，故，此時(shí)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需即可，對(duì)任意均成立，令，則，即，即，即，對(duì)任意均成立，記，則，令（b），得，①當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)（b），不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，易知（b）在，單調(diào)遞減，此時(shí)，故只需，即，則，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，，令，解得，易知，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，，且，由，可得，要證，即證，即證，而，則，要證，即證，即證，而，，即得證．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，則切線的斜率（1），所以切線方程為，即，所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（Ⅱ）的定義域?yàn)?/span>，，令，解得，，①當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上的情況如下：100極大值極小值在上遞增，在上遞減，在上遞增．此時(shí)，，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，由，得，（舍，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上的情況如下：10極小值此時(shí)，若時(shí)，，所以在上無零點(diǎn)，若時(shí)，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，若時(shí)，，，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；無極大值．（2）由，得．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減．又，且，所以函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則．當(dāng)，時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增．所以，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則需，即，得．綜上所述，若函數(shù)無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．

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