第四章  導數(shù)專練3—零點個數(shù)問題（2）1．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設，若至少有兩個不同的零點，求的最大值．解：（Ⅰ）的定義域是，，當時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ），至少有兩個不同的零點，則等價于方程至少有兩個相異實數(shù)根，由，得，設，則，令，則，令，可得或（舍，所以在上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，又（1），所以當時，，又，因此必存在唯一，，使得，當變化時，，，的變化情況如下表：，10000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當時，有極大值，當時，有極小值（1），又（1），（1），且當時，，所以（1），可得（1）時，直線與函數(shù)的圖象至少有兩個公共點，所以的最大值為．2.已知函數(shù)在點，（1）處的切線垂直于軸．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在三個都為正數(shù)的零點，求證：任意兩個零點的差小于2．解：（Ⅰ）的導數(shù)為，因為在點，（1）處的切線垂直于軸，所以（1），即，得，則，所以，，時，；時，，所以在區(qū)間、單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：設的三個正數(shù)的零點分別為，，，且．則（a）（b）（c），由（Ⅰ）可得的極小值為（2），極大值為（2），則．欲證明任意兩個零點的差小于2，只需證明，即．因為，，且在上單調(diào)遞增，只需要證明（a）（c）構(gòu)造，，，所以在區(qū)間上單減，在上單增，，現(xiàn)證明：．令，，則在上單調(diào)遞減，所以（1），而，得證，所以，（c）（a），得證．所以結(jié)論成立．3．已知，且．（1）當時，求證：恒成立；（2）令，當時，無零點，求的取值范圍．（1）證明：依題意：當時，，則．令，則恒成立．在上單調(diào)遞增，，即恒成立，在上單調(diào)遞增，，得證．（2）解法，，①當時，在遞增，，，所以存在使，當，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的零點，使，②當時，由得，令，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立．故在無零點．綜上所述：的取值范圍是，．解法，令，則，設，則，令，則，，恒成立，在上單調(diào)遞減，又，所以恒成立，，即在上單調(diào)遞減，則，無零點，即函數(shù)與函數(shù)的圖象無交點，，即的取值范圍是，．4．設函數(shù)，其中．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設，，求證：，，，恒有．（Ⅲ）函數(shù)，有兩個零點，，，求證．解：（Ⅰ），因為時，由，解得，由，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（Ⅱ）證明：由題意，，，，，因為，，所以，在，單調(diào)遞減，，只需即可，，，令，，由已知，所以，在單調(diào)遞增且（1），所以，所以，單調(diào)遞增，，，所以恒有．證明：由題意，有兩個零點，，，則有①，②，由②①，得，由（Ⅰ）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，要證，只需證，因為，即需證，只需證，整理得：，即證，令，不妨設，只需證，易得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（1），故有．5．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點；證明：（1），，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，，故存在唯一，使得，當，，，，，故在遞減，在，遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小值點．（2）函數(shù)的定義域是，，①當時，，，，在上單調(diào)遞減，又，，故此時的零點為；②當時，，，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上有唯一零點；③當時，令，，則，在上單調(diào)遞增，，又，故對任意，都有，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，綜上，函數(shù)有且僅有2個零點．6．已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點．解：（1），，令，△，若△，即，則，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若△，即，則有兩個實根，當時，，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，當時，，，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，綜上：時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，在區(qū)間，上遞增，在，遞減，在，遞增；（2）由（1）及（1）可知，若滿足題意的實數(shù)存在，當且僅當極大值時符合要求，此時即是在區(qū)間上的唯一零點，，于是問題轉(zhuǎn)化為：方程組①有解，滿足，且實數(shù)存在，由①消去整理得到：②，設，則，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上有唯一極小值，結(jié)合（1），以及，可知在區(qū)間上有唯一零點，即②在區(qū)間上有唯一零點，從而由①知，命題得證．7．已知函數(shù)，，是的導函數(shù)．（1）討論函數(shù)在的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），當時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，當時，令，，①△即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，②△即時，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在，遞減，，遞增；綜上：時，在上單調(diào)遞增，時，在遞增，在，遞減，，遞增；（2），，顯然，令，（1），，①當即時，，，遞增，且，，，單調(diào)遞減，故在至多1個零點，與題意不符，②當即時，，，遞減，且，，，單調(diào)遞增，故在至多1個零點，與題意不符，③當即時，，遞減，性質(zhì)至多1個零點，與題意不符，④當即時，，，單調(diào)遞減，且，，，單調(diào)遞增，，，遞減，要使有2個零點，只需滿足：，即，故，⑤當即時，，，遞減，且，，，遞增，，，遞減，要使有2個零點，則需滿足：即，記函數(shù)，，，故在遞增，故（1），又，故，故不等式無解，綜上，時，在區(qū)間內(nèi)有2個不同的零點．8．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)．解：（1）的定義域為，，即在，上恒成立，．（2）的定義域為，．當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且時，時，有一個零點；當時，（a），且當時，；當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（a）．1．若，即，，在上單調(diào)遞增，（a），（1），在內(nèi)有一個零點．又在上單調(diào)遞減，且（a），，令，，，在上單調(diào)遞減，；即，，，（a），在上只有一個零點，當時有兩個零點；2．若，即，，無零點；3．若，即，，有一個零點；綜上所述：當或時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，無零點．  

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