一輪大題專練6—導數(shù)（零點個數(shù)問題2）1．已知函數(shù)．（1）證明：有唯一極值點；（2）討論的零點個數(shù)．解：（1）．設，則，故單調遞增．又，．故存在唯一，使得．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．故是的唯一極值點；（2）由（1）是的極小值點，且滿足．又；同理．故時，有兩個零點；時，有一個零點；時，無零點．又令，解得，即．令，此時關于單調遞增，故．令，解得，即．此時，故令，解得，即．此時關于單調遞增，故．綜上所述：當時，有兩個零點；當時，有一個零點；當時，無零點．2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（2）畫出函數(shù)的大致圖象，并說明理由；（3）求函數(shù)的零點的個數(shù)．解：（1）函數(shù)，定義域為，則，令，解得，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，故當時，函數(shù)有極小值，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，有極小值，，無極大值；（2）令，解得，當時，，當時，，所以的圖象經過特殊點，，，當時，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)呈爆炸式增長，增長速度更快，結合（1）中的單調性與極值情況，作出函數(shù)的圖象如圖所示：（3）函數(shù)的零點的個數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，由（1）以及（2）的圖象可知，當時，有極小值，結合函數(shù)的圖象，所以關于函數(shù)的零點的個數(shù)如下：當時，零點的個數(shù)為0個；當或時，零點的個數(shù)為1個；當時，零點的個數(shù)為2個．3．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)，并給予證明．解：（1），由題意得，即在區(qū)間上恒成立，當時，，所以，故實數(shù)的取值范圍是，．（2）由已知得，則，當時，，函數(shù)單調遞減，又，（1），故函數(shù)有且只有一個零點．當時，令，得，函數(shù)單調遞減；令，得，函數(shù)單調遞增，而，在上恒成立），由于，所以，所以在，上存在一個零點，又，且，設（a），（a）在恒成立，故（a）在上單調遞增，而，所以（a）在上恒成立，所以，所以在，上存在一個零點．綜上所述，當時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，有兩個零點．4．已知函數(shù)，其中，．（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；（3）討論函數(shù)在，上零點的個數(shù)．解：（1）時，，，，，，，故切線方程是：；（2），設，，故遞減，，又時，，①若，即時，使，當時，，遞增，當，時，，遞減，在處取極大值，不存在極小值，②若，即，，在，遞增，此時無極值，（3）由（2）可知：若時，由上問可知：，即時函數(shù)沒有零點，若時，，時，遞增，，時，遞減，由得，從而，再設，則從而關于遞增，①若，，此時，，若得或，時無零點，得，時有1個零點，當時，，，有1個零點，因此時無零點，時有1個零點；②，，此時，，，，，設，則，故，若即，即時無零點，若即，即時有1個零點，綜上，，，時無零點，，時有1個零點．5．設，．（1）討論在，上的單調性；（2）令，試判斷在上的零點個數(shù)，并加以證明．解：（1），令，則，或，時，，單調遞增，，時，，單調遞減，時，，單調遞增，，時，，單調遞減，綜上，的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，和，．（2）在上有3個零點，證明如下：，則，故是的一個零點，，是偶函數(shù)，要確定在上的零點個數(shù)，只需確定時，的零點個數(shù)即可，①當時，，令，即，，時，，單調遞減，，，時，，單調遞增，，在有唯一零點．②當時，由于，，，而在，單調遞增，，故，故在，無零點，在有一個零點，由于是偶函數(shù)，在有一個零點，而，故在上有且僅有3個零點．6．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）若對任意有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內有3個零點，求實數(shù)的范圍．解：（1），．函數(shù)的圖象在點處的切線的方程為．（1），（1），，解得，．．，，．當時，函數(shù)取得最大值，．對任意有恒成立，．．實數(shù)的取值范圍是，．（2）由（1）可得：，，令，解得，1．列表如下：100單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由表格可知：當時，函數(shù)取得極小值（1）；當時，函數(shù)取得極大值．要滿足函數(shù)在區(qū)間內有3個零點，，解得，則實數(shù)的取值范圍．  

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