二輪大題專練32—導數(shù)（恒成立問題2）1．已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)性；（2）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．解：（1）定義域為，，①當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)；②當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）由恒成立，可知恒成立，令，則，令，因為，（1），且為增函數(shù)，故存在，，使，即，當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以，而，，所以，所以，所以整數(shù)的最小值為2．2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點，（1）處的切線方程，并討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于的不等式在，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，，因為（1），且（1），所以函數(shù)在點處的切線方程為，又，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．綜上，若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）令，則，（1）．因為，①當時，因為，所以，所以，此時在，上單調(diào)遞增，（1），符合．②當時，，因為，，所以由，得，此時在上單調(diào)遞減，所以當時，（1），不合要求，舍去③當時，，，在，上單調(diào)遞減，所以當，時，（1），不合要求，舍去綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．3．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）定義域為，由，得，，令，得，令，得或函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，．（Ⅱ），，即，，原問題等價于恒成立．令，則，令，則，當時，，當，時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又（1），，當時，，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，即實數(shù)的取值范圍為．4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），若，，此時在上單調(diào)遞減；若，由，得，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意，可得在恒成立，記，，其中，則，其中，，記，，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增；若，，不合題意；若，，，又，在在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，不合題意；若，因為在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍是，．解法二：，記，，則，在上單調(diào)遞增，，恒成立；若，（1），不合題意；若，由（1）知，在上單調(diào)遞減，，不合題意；若，記，，則，記，則，在上單調(diào)遞增，，，符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍是，．5．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若對于任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，，①當時，令，則，在上單調(diào)遞減；令，則，在上單調(diào)遞增；②當時，則，令，則或，在和上單調(diào)遞減；令，則，在上單調(diào)遞增；③當時，則，在上單調(diào)遞減；④當時，則，令，則或，在和上單調(diào)遞減；令，則，在上單調(diào)遞增．（2）當時，在，恒成立，在，上單調(diào)遞增，（1），恒成立，即恒成立，令，，則，在上遞增，，，且，實數(shù)的取值范圍為，，．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對，恒成立，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，且．若，則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）不等式在，上恒成立，即恒成立，設，，令，則．①當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，所以（1），即符合題意，②當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又因為（1），，所以存在，，使得，且當時，，即在上單調(diào)遞減，所以（1），即不符合題意．綜上，的取值范圍為，．7.已知函數(shù)f（x）＝+alnx（a＞0）．（1）若函數(shù)y＝f（x）圖象上各點切線斜率的最大值為2，求函數(shù)f（x）的極值；（2）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范圍．解：（1）由于y＝f（x）圖象上各點切線斜率的最大值為2，即f′（x）取得最大值為2，由題可知的定義域為（0，+∞），則，即f′（x）是關于的二次函數(shù)，∵a＞0，∴當時，f′（x）取得最大值為，∴，而a＞0，∴a＝4，∴此時，在上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）的極小值為，無極大值．（2）∵，其中x＞0且a＞0，在上，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減，在上，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增，∴，∵關于x的不等式f（x）＜2有解，∴，∵a＞0，∴，設g（x）＝lnx+1﹣x，則，在（0，1）上，g'（x）＞0，則g（x）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上，g'（x）＜0，則g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（1）＝0，即g（x）＝lnx+1﹣x≤0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，∴要求，即，則只需即可，即，解得：a＞0且a≠2，∴a的取值范圍是：a＞0且a≠2．8．已知函數(shù)，．（1）當時，若在點，切線垂直于軸，求證：；（2）若，求的取值范圍．（1）證明：由題意可知，則，設切點為，，則由，解得，則，即，故等式得證；（2）解：因為，其中，所以對恒成立，令，則，即，令，則，其中，則為上的增函數(shù)，又因為（1），，所以存在，使得，即，即，又因為在上單調(diào)遞增，故，即，又當時，，所以為減函數(shù)，當時，，所以為增函數(shù)，所以，所以的取值范圍為，．

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