二輪大題專(zhuān)練33—導(dǎo)數(shù)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題1）1．設(shè)函數(shù)，．（1）討論在定義域上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，判斷在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，①當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；（2）①當(dāng)時(shí)，，令解得，，故在，上有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，，，即在，上單調(diào)遞減，又，，故在，上沒(méi)有零點(diǎn)．20．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和，當(dāng)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設(shè)，則，，求導(dǎo)，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)，單調(diào)遞減，綜上可知：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時(shí)，由（1）可知：最多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，即，故沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，由，故在有一個(gè)零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個(gè)零點(diǎn)．的取值范圍．3．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極大值和極小值；（2）當(dāng)時(shí)判斷在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，由，得，由得或，所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，所以的極大值為，的極小值為．（2），①當(dāng)時(shí)，恒正，于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的極小值點(diǎn)，且，又，，所以在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，，的變化如下：200增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)考慮到，，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，所以，故在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，，的變化如下：200增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)考慮到，的極大值，的極小值，所以在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．4．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由，可得，①當(dāng)時(shí)，由，可得；由，可得，即有在遞減；在遞增；②當(dāng)時(shí)，由，解得或，若，則恒成立，即有在上遞增；若時(shí)，由，可得或；由，可得；即有在，，遞增，在，遞減；若，由，可得或；由，可得即有在，，遞增；在，遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上遞增；時(shí)，在，，遞增，在，遞減；時(shí)，在，，遞增；在，遞減．（2）①由（1）可得，當(dāng)時(shí)，在遞減；在遞增，且（1），（2），故在上存在1個(gè)零點(diǎn)，取滿足，且，則（b），故在是也存在1個(gè)零點(diǎn)，故時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)時(shí)，若時(shí)，在遞增，不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；若，在遞增，又當(dāng)時(shí)，，不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)增，在，遞減，在，遞增，極大值（1），故不存在2個(gè)零點(diǎn)，不合題意；綜上，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)．定義域?yàn)?/span>，，①時(shí)，，當(dāng)．，單調(diào)遞增；當(dāng)．，單調(diào)遞減；②時(shí)，，解得或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減；③時(shí)，，在單調(diào)遞減；④時(shí)，，解得或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；，．單調(diào)遞減；（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，，由（1）可得，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則（2），即（2），所以，下證有兩個(gè)零點(diǎn)，取，，滿足（2），故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)?/span>（4），滿足（2）（4），故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）可得，（a），故在無(wú)零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，（2），故在上無(wú)零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；滿足條件的取值范圍，6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，在遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增；（2）由（1）可得若函數(shù)有2個(gè)大于1的零點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，需，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，需，解得：，且當(dāng)時(shí)，在遞減，（1），故在有1個(gè)零點(diǎn)，，下面證明，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，故（1），即，故，，又在，遞增，故在，有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，的范圍是，． 

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