二輪大題專練31—導數(shù)（恒成立問題1）1．已知函數(shù)．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若對任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，求a的取值范圍．解：（1）函數(shù)，故，當a≤0時，f′（x）≥0，故f（x）在R上單調(diào)遞增，當a＞0時，令，當時，f'（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增，當時，f'（x）＜0，所以f（x）單調(diào)遞減，當時，f'（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增；（2）對任意x∈[0，+∞），f（x）≥﹣sinx恒成立，即在[0，+∞）上恒成立，令，又F（x）≥F（0），所以F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，由F'（x）＝，所以F'（0）≥0，即1﹣a≥0，所以a≤1（必要性），下證充分性，當a≤1時，，令，則，令，則h′（x）＝x﹣sinx≥0，故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（0）＝0，所以F（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，符合題意．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1]．2．已知函數(shù)，（其中為參數(shù)）．（1）若，且直線與的圖象相切，求實數(shù)的值；（2）若對任意，不等式成立，求正實數(shù)的取值范圍．解：（1）若，則，則，直線恒過定點，則直線的斜率為，設(shè)切點，由導數(shù)幾何意義可得，即，令，觀察得（1），又，所以在上遞增，所以方程的根僅有，所以；（2）令，則，令，則在，上遞增，且，（a），所以存在唯一，使得，所以當時，，故函數(shù)單調(diào)遞減，當，時，，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以由對恒成立，可得，即，令，則，所以在上遞減，由（1），所以的解為，所以，令，，則在上遞增，所以，所以．3．已知函數(shù)．（1）證明：當時，無零點；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）證明：函數(shù)的定義域為，當時，，，令，則，在，上單調(diào)遞增，又，，存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減，當，時，，單調(diào)遞增，，當時，函數(shù)無零點．（2）恒成立，即恒成立，恒成立，令，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，存在，使得，當時，，單調(diào)遞減，當，時，，單調(diào)遞增，，，，，，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，實數(shù)的取值范圍為，．4．函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，令，解得：，故，的遞增區(qū)間是，，令，解得：，的遞減區(qū)間是，，綜上：的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是，；（2）由恒成立，得，構(gòu)造函數(shù)，則，設(shè)，則，當，時，，，所以，所以即在，上單調(diào)遞增，則，若，則，所以在，上單調(diào)遞增，所以恒成立，符合題意，若，則，必存在正實數(shù)，滿足：當時，，單調(diào)遞減，此時，不符合題意，綜上所述，的取值范圍是，．5．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，試求在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，試求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若在定義域上恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當時，，則，在點處的切線斜率（2），在點處的切線方程為．（Ⅱ）由，得，由，知，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，當，即時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅲ）由恒成立，可得恒成立，恒成立，令，則，令，則或，當或時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減，又，，實數(shù)的取值范圍為，．6．已知函數(shù)．（1）求曲線在點，處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），所以．又，所以曲線在點，處的切線方程為．（2）解法，令，則，令，則，所以是增函數(shù)，又，（1），由零點存在定理及是增函數(shù)，知存在唯一的，使得，當時，，，單調(diào)遞減，當，時，，，單調(diào)遞增，所以．法1（同構(gòu)法）：由，得，即，令，則，是增函數(shù)，又，，所以①，①兩邊取自然對數(shù)，得，即，所以②，由①②，得，于是，即．所以實數(shù)的取值范圍是，．法2（換元法）：由，得，令則兩式左右分別相加，得，又是增函數(shù)，所以，所以．由，得②，由①②，得，于是，即．所以實數(shù)的取值范圍是，．解法，先證明：，當且僅當時取等號，令，則．所以；，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，所以．所以，當且僅當時取等號，因此，當且僅當時取等號，令，則，（1），又為增函數(shù)，由零點存在定理，知存在唯一的，使得，所以的最小值為，由題意，，又，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是，．7．已知函數(shù)．（1）當時，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．故當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由，得對恒成立，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增．因為，又（1），所以有唯一零點，，且，故，兩邊同時取對數(shù)得，易證明函數(shù)是增函數(shù)，所以得，所以，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，則，故的取值范圍是，．8．已知函數(shù)，其中（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對于恒成立，求的最大值．解：（1）由，得，所以，．所以曲線在點，處的切線方程為．（2）由，得．因為，且在上單調(diào)遞增，所以由得，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）由，得在上恒成立．設(shè)，則．由，得，．隨著變化，與的變化情況如下表所示：，，0極小值所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．所以函數(shù)的最小值為．由題意，得，即．設(shè)，則．因為當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當時，．所以當，，即，時，有最大值為．

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