第四章  導(dǎo)數(shù)專(zhuān)練14—與三角函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題（2）1．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若關(guān)于的不等式在，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），．令，則．在上恒成立，在上單調(diào)遞增．又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因此，的最小值為；（2）不等式，即，等價(jià)于．設(shè)，則由題意得在，內(nèi)恒成立．，．①當(dāng)時(shí)，，這時(shí)，使當(dāng)時(shí)，，從而在，上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，這與在，內(nèi)恒成立不符．②當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，，從而，這時(shí)．設(shè)，則，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增．又，當(dāng)時(shí)，，即．因此，，在，上單調(diào)遞增．又，當(dāng)時(shí)，，從而．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．2．已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）設(shè)，若，求的取值范圍．解：（1）時(shí)，，則，，又，故切點(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：；（2），定義域是，令（a），求導(dǎo)（a），故（a）在上單調(diào)遞增，且（1），故，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即（a）（1），故，，時(shí)，令，則，故在上單調(diào)遞增，且，，故存在，，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，故，綜上，所求的取值范圍是，．3．已知函數(shù)．（1）若在，上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若存在兩條相互垂直的切線，求函數(shù)在區(qū)間，上的最小值．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在，上是增函數(shù)，所以當(dāng)，時(shí)，恒有，，故有，此時(shí)令，則有，即得在，上單調(diào)遞減，故有，因此可得，．（2）根據(jù)題意，，則有，存在兩條互相垂直的切線，假設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，則有，化簡(jiǎn)可知，，，，令，則有，，恒成立，即得在上單調(diào)遞減，又，在上恒成立，即得在上單調(diào)遞減，，即函數(shù)的最小值為．4．函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），，，，，，又，則，故在遞減，，，故，即的取值范圍是；（2），，，故，當(dāng)，時(shí)，，，故在，上遞增，，，①當(dāng)即時(shí)，存在，使得遞減，又，當(dāng)時(shí)，與矛盾；②，即時(shí)，，又，，，則，，而時(shí)，故，故函數(shù)在區(qū)間，遞增，又，故，綜上：的取值范圍是，．5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，可得，因?yàn)?/span>，使得，所以，使得，則有，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，，恒成立，所以對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立，令，，，由，可得，又，所以，記，，，，則，在，上恒成立，所以，在，上均單調(diào)遞增，所以，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，記，，，則在上單調(diào)遞增，故，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，不符合題意．綜上所述，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．6．已知函數(shù)，．（1）設(shè)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求證：．解：（1）由題意得：，，，①當(dāng)，時(shí)，，，，故，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)，時(shí)，，，，，在，上單調(diào)遞增，又，，且的圖像在．內(nèi)連續(xù)不斷，存在，使得，且當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在，內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，綜合①②可知：在，內(nèi)單調(diào)遞減，在，內(nèi)單調(diào)遞增，又，，，且的圖像在，內(nèi)連續(xù)不斷，存在，存在，，使得，函數(shù)在，內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2；（2）證明：要證，即證：，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，，故要證成立，只需證明，設(shè)，則，又設(shè)，，在上單調(diào)遞減，又，（1），存在，使得，即，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，故原命題成立．7．已知函數(shù)，．（1）若在上有極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，時(shí)，，求的最大值．解：（1），依題意，有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，所以在有實(shí)根，注意到△，所以（1），解得，即．（2），，當(dāng)時(shí)，，，所以成立；當(dāng)時(shí)，，所以．記，則恒成立，，，在單調(diào)遞增，，若，則，記，則，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不符題意，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，由，，所以，而時(shí)，，所以成立，綜上所述，的最大值為3．8．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）求函數(shù)在，的最小值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，又得切點(diǎn)，，所以切線方程為，即；（2）法一：，，，，令，，由，得，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，又，所以在上恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，知在上為減函數(shù)，從而，當(dāng)時(shí)，，知在上為增函數(shù)，從而；綜上，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．法二：，，，，由，得，，，當(dāng)時(shí)，知在上為減函數(shù)，從而，當(dāng)時(shí)，知在上為增函數(shù)，從而，綜上，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．9．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，求證：．解：（1）當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，且，所以切線的方程為，即為；（2）證明：由題意可得，若，則，所以在遞增，因此不存在，使得，所以；設(shè)，，則，令，，所以在遞減，又，所以在恒成立，從而在遞減，從而．①又由，可得，所以．②由①②可得．又因?yàn)?/span>，所以，因此要證，只需證明，即證，③設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以（1），即③式成立．所以獲證．   

相關(guān)試卷

2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)練14導(dǎo)數(shù)任意存在性問(wèn)題2含解析：

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