第四章 導(dǎo)數(shù)專練7—雙變量與極值點偏移問題（1）1．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間是的導(dǎo)數(shù)）；（2）若有兩個極值點、，證明：．解：（1）當(dāng)時，，則，，，顯然遞減，且（1），故當(dāng)時，，時，，故在遞增，在遞減；（2）證明：，，由題意知有2個不相等的實數(shù)根，即有2個不相等的實數(shù)根，，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（1），而時，，故的取值范圍是，，由，得，故，令，則，，，故不等式只要在時成立，令，，，故在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞減，即，故原不等式成立．2．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值點；（2）若，是方程的兩個不同的正實根，證明：．解：（1），，令，△，當(dāng)時，△，，無極值點，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)，，時，，遞增，，時，，遞減，故極大值點是，極小值點是；綜上：時，無極值點，時，極大值點是，極小值點是；（2）由，即，令，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在遞減，在，上遞增，又有2個零點，，即，解得：，且，兩式相減得：，設(shè)，，，要證明，即證明，，，即證明，令，，在上單調(diào)遞減，（1），即．3．已知函數(shù)有兩個不同的零點（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求證：；（2）求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)的兩個零點為、，求證：．證明：（1）當(dāng)時，要證，只需證明，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，在上，為單調(diào)遞減函數(shù)，此時，所以原不等式成立．解：（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，（1），若，則，當(dāng)時，，又因為當(dāng)時，由（1）可得，由得，取滿足且，則，所以在上有唯一的零點，綜上所述，．證明：（3）函數(shù)的兩個零點為、，所以，同理，由（1）得，，所以，，所以，因為，所以，所以，同理，所以．4．已知，函數(shù)．（Ⅰ）若，求的取值范圍；（Ⅱ）記，（其中為在上的兩個零點，證明：．解：（Ⅰ），當(dāng)時，，在上遞增，又，故符合題意，當(dāng)時，在遞減，在遞增，，故，又，，解得：，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，不符合題意，綜上：．（2）證明：令，則且，記且，由于，故在和上遞減，在上遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，根據(jù)題意可知，，且，先證，即證，即證，顯然成立；再證，，，只需證，，，只需證，即證，又，只需證，亦即，即，由知，，，故，即得證．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，，當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ），，，當(dāng)時，，函數(shù)在，單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時，，函數(shù)在，單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時，，又時，，即所求的值域是；（Ⅱ）有兩個零點，，由，得，記，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；必有．又由（Ⅰ）知當(dāng)時，，即又，，在單調(diào)遞減．又令，代入式得，，即，又由題意函數(shù)有兩個零點，，得，兩式相減得，，又，，，，得，又，只要，又，．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．6．已知函數(shù)．（1）若單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．解：（1）由題意知對任意，恒成立，即對任意，恒成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，，故，即的取值范圍是，．（2），由題意知，是的兩個根，即，是方程的兩個根，則，解得：，且，，則，要證，只需證，即證，，，，從而，令，則，，，設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，，，則，易知存在，，使得，且當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，故函數(shù)在，遞減，在，遞增，故，故在，上單調(diào)遞減，從而，故，原命題成立． 7．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若，是方程的兩根，求證：．解：（1），定義域是，，①時，，，在單調(diào)遞增，②時，，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，綜上：時，在單調(diào)遞增，時，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減．（2）證明：由題意可知，是函數(shù)的零點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)要有2個零點，必有（1），即，要證即證，只需證明①，由于，，，（1），函數(shù)在，上存在唯一零點，即②，又，令，，，，故，在上單調(diào)遞增，故，函數(shù)在上存在唯一零點，即③，由②③可知①成立，故．8．已知函數(shù)有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時，設(shè)（b），有兩個零點為，，證明：．解：（Ⅰ）有題意，當(dāng)時，，在上單增，此時顯然不成立，當(dāng)時，令，得，此時在上單減，在上單增，（b），即，所以，．所以的最大值為1．（Ⅱ）證明：當(dāng)取得最大值時，，，的兩個零點為，，則，即，，不等式恒成立等價于，兩式相減得，帶入上式得，令，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），得證．

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