第四章 導數(shù)專練10—含有任意、存在性問題1．已知函數(shù)，．（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調，求實數(shù)的取值范圍；（2）設，若，，，，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，解：（1），若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則在恒成立，所以，解得；若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則在恒成立，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為，，．（3）由題意得，，因為，所以，即，由，當時，因為（1），則不合題意；當時，由，得或（舍去），當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．所以，即，整理得，，設，，所以單調遞增，，又因為（2），（3），所以，故整數(shù)的最小值為3．2．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）設函數(shù)存在實數(shù)，，，使得不等式成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ），．當時，，時，，當，時，，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；當時，，在上恒成立，則的減區(qū)間為；當時，，的減區(qū)間為；當時，，時，，當，時，，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，．綜上，當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，；當時，的減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，；（Ⅱ），存在實數(shù)，，，使得不等式成立，，，，當，時，，單調遞減，當，時，，單調遞增，（e），，，得，又，．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調性．（2）若對任意的，，總存在，，使得，證明：．解：（1）函數(shù)，，，令，△時，解得時，，則函數(shù)在上單調遞增．△時，解得，或，則函數(shù)在上單調遞增．由，解得，．時，，，．函數(shù)在上單調遞增．時，，．函數(shù)在，，上單調遞增，在，上單調遞減．綜上可得：時，函數(shù)在上單調遞增．時，，．函數(shù)在，，上單調遞增，在，上單調遞減．（2）證明：，，．化為：，整理可得：，令，，可得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．（1）．，即，令（a），（a）在，上單調遞減，，解得：．4．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）證明：，，，．解：（1），，，，令，解得；令，解得．函數(shù)的單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間為，．（2）證明：，，，要證明．即證明：．即證明：．令，，，（1）．，函數(shù)在，上單調遞減，（1），，即：，，，成立．5．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，當，，時，設（a），求（a）的取值范圍．解：（1），①當，即時，若或，，若，，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；②當，即時，恒成立，在上單調遞增；③當，即時，若，，若或，，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；（2）由（1）知，當時，在上遞減，在上遞增，由，解得或，①若，即時，在，上遞減，；②若，即時，在，上遞減，在，上遞增，且（1），則；③若，即時，在，上遞減，在，上遞增，且（1），則，，（a）在上遞減，，綜上所述，．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）若存在實數(shù)，，使得對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，，當時，令，解得：，令，解得：或，故在遞減，在，遞增，在遞減；（Ⅱ），即，即存在，，使得，故對于任意恒成立，即，令，即對任意恒成立，，設，，當時，，在單調遞增，又，（1），故存在唯一，使得，當，時，，則，減函數(shù)，故（1），不符合題意，故，下面證明當時，恒成立，，故，即在，上單調遞減，（1），綜上：的取值范圍是，．7．已知函數(shù)，．（1）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若存在兩個不相等的正數(shù)，，使得，證明：．解：（1）當時，恒成立等價于，令，則，當時，，，，在，上單調遞減，所以（1），所以恒成立．當時，令，，所以在，上單調遞減，（1），，由零點存在性定理知，，，使得，且時，，，在上單調遞增，所以（1），不滿足題意，舍去，綜上，．（2）證明：不妨設，則，因為，所以，令，，在上單調遞增，，所以，即，所以，即，下證，令，即證，只需證，設，在上恒成立，所以在上單調遞減，所以（1），所以． 

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