第四章導(dǎo)數(shù)專練_構(gòu)造函數(shù)證明不等式11．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．解：（1），令，解得，令，解得，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為；（2）證明：要證，即證，即證，，，只需證明對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，在為增函數(shù)，又，存在，使得，由，得，即，即，且當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)，時(shí)，，單增，，令，則，在上單增，故，，即．綜上，當(dāng)時(shí)，．2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．解：（1）的定義域是，，對(duì)于，①△即時(shí)，在恒成立，故在遞減，②△時(shí)，時(shí)，令，解得：（舍，，故時(shí)，，，時(shí)，，故在遞增，在，遞減，時(shí)，令，解得：，，故時(shí)，，，時(shí)，，，時(shí)，，故在遞減，在，遞增，在，遞減；綜上：時(shí)，在遞減，時(shí)，在遞增，在，遞減，時(shí)，在遞減，在，遞增，在，遞減．（2）證明：要證，即證，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故（1），故，故，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：，即證明在恒成立，令，則，顯然，令，，由，則，故在遞增，，故，在遞增，故，故原命題成立．3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)極值；（2）證明：．解：（1）的定義域?yàn)?/span>，．若，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，若，則當(dāng)時(shí)，，在，，上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，有極大值為，無(wú)極小值，綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，有極大值為，無(wú)極小值．（2）證明：令，則，由，故存在，使得，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，故函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，故，即．4．已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若，證明：當(dāng)，時(shí)，．解：（Ⅰ），（1分）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上是遞增的，（2分）當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，在上遞減，在上遞增，（4分）綜上所述，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（5分）（Ⅱ）證明：，令，，（6分）由（Ⅰ）知．①當(dāng)時(shí)，在上遞增，又，，，時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，，（7分）②當(dāng)時(shí)，，由（1）知在上遞增．又，則在上遞減，在上遞增，，（9分）③當(dāng)時(shí)．由（1）知在上遞減．在上遞增，且，，時(shí)，，時(shí)，，在上遞減，在上遞增，則，（11分）綜上所述，在，上函數(shù)恒成立．若，當(dāng)，時(shí)，恒成立．（12分） 5．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：．解：的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，；（2）證明：由于，要證明，即證明，令，則，令，則恒成立，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，又（1），即（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1）成立，所以原結(jié)論成立．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）對(duì)任意，求證：．解：（Ⅰ）的定義域是，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（Ⅱ）證明：要證，即證，即證，又，故，即證，令，則，令，則，而在遞增，且（1），（2），故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，（2），故大昂時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（2），綜上：，即．7．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）已知，求的根的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）求證：若，則．解：（Ⅰ）證明：，，，要證即，即證，即證，顯然成立；（Ⅱ）顯然，令，即，解得：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，故當(dāng)時(shí)，有1個(gè)根，時(shí)，有2個(gè)根；（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，，要證原命題成立，只需證，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明在上恒成立，令，則，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，又，在遞減，則，而（2），故存在，使得，即，故在遞減，在，遞增，故，又，，在恒成立，故原命題成立．8．已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若，證明：．解：（1），若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，令函數(shù)．則，故在上單調(diào)遞減，故（1），從而，故的取值范圍是，；（2）證明：當(dāng)，欲證，即證明：，令，則，設(shè)，則為增函數(shù)，且（1），，故存在，，使得，由于，則，故時(shí)，，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，故，由于，即，故，故，，，從而． 

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