一輪大題專練14—導數(shù)（任意、存在性問題2）1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當，時，求證：．解：（1）的定義域為，，①當時，，即在上單調(diào)遞減；②當時，，由，解得，由，解得，即在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．（2）證明：，即，令，，則，令，則，令，則，所以即在上單調(diào)遞增，又，①當時，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，則有；②當時，，，則，即存在使得，即，且，即，綜上所述，恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即．2．設，已知函數(shù)，函數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若對任意實數(shù)和正數(shù)，均有，求的取值范圍．（注為自然對數(shù)的底數(shù)）解：（Ⅰ）當時，為增函數(shù)，且，所以在遞減，在遞增，所以．（Ⅱ）因為，由于函數(shù)在上單增，且，（1），所以存在唯一的使得．且．再令，，可知在單增，而由可知，，，所以．于是，所以．又為增函數(shù)，當時，，當時，；又當時，，當時，（3），所以對任意，存在唯一實數(shù)，使得，即，且．由題意，即使得，也即，即，又由于單增且，所以的值范圍為，，代入，求得的取值范圍為，．3．已知函數(shù)在處取得極值，．（1）求的值與的單調(diào)區(qū)間；（2）設，已知函數(shù)，若對于任意、，，都有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得的定義域為，，函數(shù)在處取得極值，（2），解得，則由得或，、、的關系如下表：200遞增極大值遞減極小值遞增函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）得函數(shù)，當時，對任意、，，都有，即當，，時，，在，上單調(diào)遞減，，，，在，上單調(diào)遞減，則，，則，即，解得或，結(jié)合，得，故實數(shù)的取值范圍為．4．已知函數(shù)，，（1）設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）對任意的，存在，使得，求的最小值解：（1）由已知所以（1分）當時，恒成立，所以在定義域單調(diào)遞增，沒有極值．（2分）當時，令，得，列表得負0正單減極小值單增所以，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時取到極小值（a），沒有極大值（5分）綜上，當時，在定義域單調(diào)遞增，沒有極值．當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，（a），沒有極大值（6分）（2）由已知，設即，解得，，所以，令，（8分）則令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，且（1）當時，，，所以單調(diào)遞減當時，，，所以單調(diào)遞增，即時取到極小值，也是最小值，所以（1）所以的最小值為（12分）5．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，，．不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），定義域是，，令，△，①即時，恒成立，即恒成立，在單調(diào)遞增，②即或時，有2個不相等的實數(shù)根，此時，，時，，，故時，，即，，時，，即，，時，，即，故在遞增，在，遞減，在，遞增；時，，，時，遞增，綜上：時，在單調(diào)遞增，時，在遞增，在，遞減，在，遞增．（2），，當時，在，上恒成立，在，上單調(diào)遞增，（1），故問題等價于：對于任意的，不等式恒成立，即恒成立，記（a），，則（a），令（a），則（a），所以（a）在上遞減，所以（a）（1），故（a），所以（a）在上單調(diào)遞減，所以（2），即實數(shù)的取值范圍為，．

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