第四章 導(dǎo)數(shù)專練6—恒成立問題（2）1．設(shè)函數(shù)．（1）若直線與曲線相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立．（參考數(shù)據(jù)：，，．解：（1），設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，解得，實(shí)數(shù)的值為；（2）證明：即證對(duì)恒成立，先證明，設(shè)，則，在遞增，在遞減，（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，，現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，令，則，令，解得，時(shí)，，時(shí)，，且，，（2），由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的最小值是或，由，得，，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即得證．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，所以，記，所以，又記，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且（2），，由零點(diǎn)存在性定理可得存在唯一，，使得，即，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)．（2）解：由不等式恒成立，化簡(jiǎn)可得恒成立，令，，則，當(dāng)，即時(shí)，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（1），滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>（1），不滿足題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．3．已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：不等式在，上恒成立；（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)取值的集合．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式在，上恒成立．（Ⅱ）令，，則，（1）當(dāng)時(shí)，由題意得在，上恒成立，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，所以當(dāng)在，上恒成立時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，由題意得在，上恒成立，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）得，所以在，上單調(diào)遞減，所以，所以，所以當(dāng)在，上恒成立時(shí)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為．4．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，．解：（1），，，①時(shí)，在恒成立，在遞減，無(wú)遞增區(qū)間，②時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在，遞減，③時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，綜上：時(shí)，在遞減，在，遞增，時(shí)，在遞減，無(wú)遞增區(qū)間，時(shí)，在遞增，在，遞減；（2）即恒成立，故恒成立，令，則，令，和在遞增，在上單調(diào)遞增，且（3），（4），故存在，使得，此時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，故，恒成立，，故的最大值是3．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（Ⅱ）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，故，又，故曲線在點(diǎn)，處的切線方程是：；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，，由題設(shè)條件可知，且，則，，令，解得：，，，，①若，即，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，而，，即；②若即，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故在，遞減，在，遞增，故在處取得最小值，而，，即，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得，令，則，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，故，故在單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，且時(shí)，，遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)；綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．（2）若，時(shí)，恒成立，則，故，下面證明時(shí)，在，恒成立，，時(shí)，，故時(shí)，，令，，，故，令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，又，故在，上單調(diào)遞減，又，，故存在，，使得，且，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得最大值，且，，，，故單調(diào)遞減，故，時(shí)，即成立，綜上，若，時(shí)，恒成立，則的取值范圍是，．7．函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，，在遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減；（2）在，恒成立，在，恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，故在，上單調(diào)遞增，又，（1），故存在唯一，，使得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故函數(shù)在遞增，在，遞減，在，遞增，故，（2），由得，且，故，，，，，（2），當(dāng)，時(shí)，（2），故，解得：，故的取值范圍是，．8．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍．解：（1）的定義域，，令，，，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，故，即當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）不等式等價(jià)于，又，故，設(shè)，，，，又，故當(dāng)，時(shí)，，所以在，單調(diào)遞減，于是，故，所以的取值范圍為，．9．已知，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ），且．①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（Ⅱ）設(shè)，，．若，則由圖象的連續(xù)性知，必存在區(qū)間，使得，與題意矛盾；則，．，，則單調(diào)遞增，①若，，恒成立，，符合；②若，，時(shí)，，且單調(diào)遞增，則存在唯一，，且時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，．由，可得，且，，時(shí)符合．綜上，，．10．已知函數(shù)．（1）試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)，且在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，可得，則有：①若，則，此時(shí)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②若，令，則有，所以，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；即得，則有：當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則，又因?yàn)?/span>時(shí)，；時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，此時(shí)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上可得，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，則有在上恒成立，又因?yàn)?/span>時(shí)，，所以令在上恒成立，即得函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，即得在上恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）得，在上單調(diào)遞增，則由上結(jié)論可知，在上恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，不合題意，綜上可得，，即，．      

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