一輪大題專練13—導(dǎo)數(shù)（任意、存在性問題1）1．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增；（2）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）證明：，分，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，由于，，，與題意不符；分當(dāng)時(shí)，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)與的性質(zhì)得與的圖象在第一象限有唯一的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即，，即，，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，所以在，上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且的最小值為，對(duì)，都有，分設(shè)（a），則（a），當(dāng)時(shí)，（a），所以（a）在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，（a），所以（a）在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，（a）取得最大值，且（a）的最大值為（1）；當(dāng)時(shí)，（a），即，且“”成立，由得，，綜上所述，存在唯一的實(shí)數(shù)，且，，都有．分2．設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：對(duì)于任意，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立．解：（1），，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得；由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）由得，，即不等式，恒成立，記，則，由得，；由得，；由得，．所以在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，所以；（3）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，又（1），所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取；②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，，令，，則上式，記，，則，所以在上為增函數(shù)，所以（1），即，因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取．綜上，對(duì)于任意，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立．3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得恒成立的值有且只有一個(gè)，求的值．解：（1），的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；（2）恒成立，即恒成立，令，則，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，要使在上恒成立，只需，，此時(shí)不唯一，不合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，在上單調(diào)遞增，要使在上恒成立，只需，，此時(shí)不唯一，不合題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，，要使在上恒成立，且的值唯一，只需，整理得，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，，要使的值唯一，只需，解得：，，．4．已知函數(shù)．（1）設(shè)，求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，對(duì)任意，，恒成立，求的最大值．解：（1），令，則，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值是，即的最小值是；（2），則，由（1）知，故，故，故的最大值是．5．已知函數(shù)，．（1）若對(duì)任意給定的，，總存在唯一一個(gè)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意知，，因?yàn)?/span>，所以由，解得或，由，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，和，，，，（1），，所以的值域?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>在，上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?/span>，，問題轉(zhuǎn)化為直線，，和曲線，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，有，解得的取值范圍是，．（2）由（1）可知，問題轉(zhuǎn)化為，，和曲線，二者的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，有，解得的取值范圍是．6．已知函數(shù)，，．（1）若在，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)于，總存在，，且滿，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），，令，因?yàn)?/span>對(duì)，恒成立，，即在，上為增函數(shù)，，在，上單調(diào)遞減，對(duì)，恒成立，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（2）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，時(shí)，，的對(duì)稱軸為，由題意可得，此時(shí)，的值恒小于和（4）中最大的一個(gè)對(duì)于，總存在，，且滿足，，，，，（4），，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

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