第1課時(shí)　等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式
從1976年至1999年在我國(guó)累計(jì)推廣種植雜交水稻35億多畝,增產(chǎn)稻谷3 500億千克,年增稻谷可養(yǎng)活6 000萬人口.這一切都?xì)w功于一個(gè)人——“雜交水稻之父”袁隆平,西方世界稱他的雜交水稻是“東方魔稻”,并被認(rèn)為是解決下個(gè)世紀(jì)世界性饑餓問題的法寶.袁隆平在培育某水稻新品種時(shí),培育出第一代120粒種子,并且從第一代起,由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子,那么到第5代時(shí)大約可以得到這個(gè)新品種的多少粒種子?學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容之后,你就能得到這個(gè)問題的答案了.
一、等比數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
名師點(diǎn)析對(duì)等比數(shù)列定義的理解(1)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈?項(xiàng)沒有前一項(xiàng).(2)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比必須是同一個(gè)常數(shù)(因?yàn)橥粋€(gè)常數(shù)體現(xiàn)了等比數(shù)列的基本特征).(3)公比q是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的比,不要把分子與分母弄顛倒.(4)等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)均不能為零.(5)等比數(shù)列的公比可以是正數(shù)、負(fù)數(shù),但不能為零.
微練習(xí)判斷下列數(shù)列是不是等比數(shù)列.如果是,寫出其公比q.
④1,0,1,0,1,0,…;⑤1,-4,16,-64,256,….
解:①不是等比數(shù)列;②是等比數(shù)列,公比為1;③是等比數(shù)列,公比為 ;④不是等比數(shù)列;⑤是等比數(shù)列,公比為-4.
二、等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),此時(shí)G2=ab.名師點(diǎn)析等比中項(xiàng)概念的理解(1)只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng).(2)若兩個(gè)實(shí)數(shù)有等比中項(xiàng),則一定有兩個(gè),它們互為相反數(shù).
A.1　　　B.-1　　　C.±1　　　D.2
三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.名師點(diǎn)析已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可以求得任意一項(xiàng).已知a1,n,q,an四個(gè)量中的三個(gè),可以求得第四個(gè)量.
微拓展(1)通項(xiàng)公式an=a1qn-1,q的次數(shù)比等號(hào)前的項(xiàng)數(shù)小1,不能記錯(cuò).此公式中q的次數(shù)可以這樣記:次數(shù)為等號(hào)前面的項(xiàng)an的項(xiàng)數(shù)n減去等號(hào)后的項(xiàng)a1的項(xiàng)數(shù)1.(2)變形公式an=amqn-m,此公式中q的次數(shù)也可以這樣記:次數(shù)為等號(hào)前面的項(xiàng)an的項(xiàng)數(shù)n減去等號(hào)后的項(xiàng)am的項(xiàng)數(shù)m.
等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例1在等比數(shù)列{an}中,求解下列問題:(1)若a2=3,a5= ,求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
分析:先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合條件列出方程(組)求得a1,q,再解決其他問題.
反思感悟等比數(shù)列的計(jì)算(1)等比數(shù)列的基本量是a1和q,很多等比數(shù)列問題都可以歸結(jié)為其基本量的運(yùn)算問題.解決這類問題時(shí),最核心的思想方法是解方程(組)的方法,即依據(jù)題目條件,先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立關(guān)于a1和q的方程(組),再解方程(組),求得a1和q的值,最后解決其他問題.(2)在等比數(shù)列的基本量運(yùn)算問題中,建立方程(組)進(jìn)行求解時(shí),要注意運(yùn)算的技巧性,特別注意整體思想的應(yīng)用.
變式訓(xùn)練1在等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
等比中項(xiàng)及其應(yīng)用例2(1)已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)依次為x,2x+2,3x+3,求實(shí)數(shù)x的值.(2)已知等比數(shù)列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中項(xiàng).
分析:(1)可由等比中項(xiàng)的定義建立關(guān)于x的方程求解:(2)先求出a1和a5的值,再根據(jù)等比中項(xiàng)的定義求解.
解:(1)因?yàn)榈缺葦?shù)列的前3項(xiàng)依次為x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí),2x+2=3x+3=0不合題意,所以實(shí)數(shù)x的值為-4.
所以a5=a1q4=16.設(shè)a1和a5的等比中項(xiàng)為G,則G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中項(xiàng)是±4.
反思感悟等比中項(xiàng)的求解策略1.任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),且等差中項(xiàng)是唯一的.與等差中項(xiàng)不同,只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為相反數(shù).2.若a,b,c成等比數(shù)列,則必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比數(shù)列.
變式訓(xùn)練2在等差數(shù)列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中項(xiàng),則k=(　　)A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
解析:依題意,得 =a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理,得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).答案:B
等比數(shù)列的判斷與證明例3(1)判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列.①1,3,32,33,…,3n-1,…;②-1,1,2,4,8,…;③a1,a2,a3,…,an,….(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=5,an= an-1+1(n≥2),bn=an-3.①求證:{bn}為等比數(shù)列;②求{an}的通項(xiàng)公式.
分析:(1)判定等比數(shù)列,要抓住3個(gè)要點(diǎn):①?gòu)牡诙?xiàng)起.②要判定每一項(xiàng),不能有例外.③每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù),且不能為0.(2)①先對(duì)給出的等式an= an-1+1進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形,與bn=an-3相結(jié)合,得出bn與bn-1的關(guān)系,從而判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列;②由{bn}為等比數(shù)列,先求出bn,再根據(jù)bn=an-3求出an.
(1)解:①記數(shù)列為{an},顯然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∴數(shù)列為等比數(shù)列,且公比為3.②記數(shù)列為{an},顯然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
③當(dāng)a=0時(shí),數(shù)列為0,0,0,…是常數(shù)列,不是等比數(shù)列;當(dāng)a≠0時(shí),數(shù)列為a1,a2,a3,a4,…,an,…,顯然此數(shù)列為等比數(shù)列,且公比為a.
延伸探究在本例(2)中,若將條件改為“數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= an+1(n∈N*)”,再求{an}的通項(xiàng)公式.
通項(xiàng)法證明等比數(shù)列典例已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,且lg a1,lg a2,lg a4成等差數(shù)列,又bn= ,n=1,2,3,…,則數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列?
分析:先求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,從而判斷{bn}是否為等比數(shù)列.
解:因?yàn)閘g a1,lg a2,lg a4成等差數(shù)列,所以2lg a2=lg a1+lg a4,即 =a1·a4,設(shè){an}的公差為d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)?d2=a1d?d=0或d=a1.①當(dāng)d=0時(shí),{an}為常數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù),所以{bn}也為常數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù).所以{bn}為等比數(shù)列.②當(dāng)d=a1≠0時(shí), =a1+(2n-1)d=d+2nd-d=2nd=(2d)·2n-1,即bn=(2d)·2n-1,所以{bn}為等比數(shù)列.綜合①②可知{bn}為等比數(shù)列.
方法點(diǎn)睛用通項(xiàng)公式證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí),關(guān)鍵是求出an=a1qn-1這個(gè)形式.
1.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是(　　)A.0,1,2,4,…B.22,42,62,82,…C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…
2.在等比數(shù)列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,則a3=(　　)A.8B.-8 C.±8D.16
解析:由a5+a1=34,a5-a1=30,得a1=2,a5=32,所以公比q4= =16,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8.
3.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,公比為2,則數(shù)列中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的等比中項(xiàng)為　　　　　.?
解析:∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,
4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=4an+1(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為　　　　.?

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4.1 數(shù)列的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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