第1課時(shí)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示
古語(yǔ)云:“勤學(xué)如春起之苗,不見其增,日有所長(zhǎng);輟學(xué)如磨刀之石,不見其損,日有所虧.”如果對(duì)“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個(gè)數(shù)列.同樣,對(duì)“磨刀之石”用精密儀器度量,則每日的質(zhì)量按日期排在一起,也可以組成一個(gè)數(shù)列.那么什么叫數(shù)列呢?
一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),常用符號(hào)a1表示;第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),用a2表示……第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.
名師點(diǎn)析(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個(gè)數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.(2)符號(hào){an}和an是不同的概念,{an}表示一個(gè)數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).
微思考數(shù)列與集合之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?提示:(1)集合中的元素具有確定性、無(wú)序性、互異性,而數(shù)列中的項(xiàng)具有確定性、有序性、可重復(fù)性;(2)集合中的元素可以是數(shù),也可以是點(diǎn)、方程以及其他事物等,但數(shù)列中的每一項(xiàng)必須是數(shù);(3)數(shù)列{an}不是集合,它是數(shù)列的一個(gè)整體符號(hào),{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示數(shù)列的第n項(xiàng).
微練習(xí)下列敘述正確的是(　　)A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}D.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)解析:按項(xiàng)的變化趨勢(shì),數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列等數(shù)列,A錯(cuò)誤;數(shù)列1,3,5,7與由實(shí)數(shù)1,3,5,7組成的集合{1,3,5,7}是兩個(gè)不同的概念,C錯(cuò)誤;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實(shí)數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯(cuò)誤;對(duì)于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號(hào)唯一確定,B正確.答案:B
三、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.名師點(diǎn)析(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cs nπ等.
微練習(xí)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10=　　　　　,224是該數(shù)列的第　　　　　項(xiàng).?
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).答案:99　15
例1給出下列說法:①數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的;②數(shù)列1,3,2,6,3,9,…是遞增的無(wú)窮數(shù)列;③數(shù)列 ,…是遞減的無(wú)窮數(shù)列;④數(shù)列0,1,4,9,16,…的通項(xiàng)公式是an=n2;⑤數(shù)列1,5,2,10,3,15,…沒有通項(xiàng)公式;⑥擺動(dòng)數(shù)列也可能有通項(xiàng)公式.其中正確說法的序號(hào)是　　　　　.?
分析:根據(jù)數(shù)列的定義、分類以及通項(xiàng)公式的概念進(jìn)行判斷.
解析:對(duì)于①,錯(cuò)誤,數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)可以是有限項(xiàng)或無(wú)限項(xiàng);對(duì)于②,錯(cuò)誤,該數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列,但不是遞增數(shù)列;對(duì)于③,正確;對(duì)于④,錯(cuò)誤,該數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=(n-1)2;
反思感悟數(shù)列類型的判斷在判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn).對(duì)于是遞增、遞減、擺動(dòng)還是常數(shù)列要從項(xiàng)的變化趨勢(shì)來分析;而是有窮還是無(wú)窮數(shù)列則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限.
變式訓(xùn)練1下列正確說法的序號(hào)是　　　　　.?①{0,1,2,3,4,5}是有窮數(shù)列;②按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮遞增數(shù)列;③-2,-1,1,3,-2,4,3是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列;④數(shù)列1,2,3,4,…,2n是無(wú)窮數(shù)列.解析:緊扣數(shù)列的有關(guān)概念,驗(yàn)證每一個(gè)說法是否正確.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是數(shù)列,故①錯(cuò)誤;按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮遞增數(shù)列,故②正確;同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn),故此數(shù)列共有7項(xiàng),故③錯(cuò)誤;數(shù)列1,2,3,4,…,2n,共有2n項(xiàng),是有窮數(shù)列,故④錯(cuò)誤.答案:②
根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
分析:觀察、分析,尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所在項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系.
(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項(xiàng)加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜
(5)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是
反思感悟1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系.(3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再用(-1)k處理符號(hào).(4)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識(shí)解答.
2.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.
變式訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):
分析:數(shù)列的前3項(xiàng)已知,由此代入通項(xiàng)公式,可得到關(guān)于a,b,c的方程組,解方程組即得a,b,c的值,從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再求a4,a5;
反思感悟數(shù)列中項(xiàng)的判定方法判斷給定的項(xiàng)是不是數(shù)列中的項(xiàng),實(shí)質(zhì)就是一個(gè)解方程的過程.若解得的n是正整數(shù),則該項(xiàng)是此數(shù)列中的項(xiàng);否則,就不是該數(shù)列中的項(xiàng).
數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用
(1)當(dāng)k=1時(shí),判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:對(duì)于(1),因?yàn)橐阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式,所以可以通過比較數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)an與an+1的大小來確定數(shù)列的單調(diào)性;對(duì)于(2),可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,得出an與an+1的大小關(guān)系,從而確定k的取值范圍.
反思感悟判斷數(shù)列的增減性,一般是將其轉(zhuǎn)化為比較相鄰兩項(xiàng)的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判斷數(shù)列增減性的步驟為先作差,再變形、定號(hào),最后下結(jié)論.作商法適用于各項(xiàng)都是同號(hào)的數(shù)列,且應(yīng)比較比值與1的大小關(guān)系.
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列
例5(1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.
分析:(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
(1)解:①an=n2-5n-6

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4.1 數(shù)列的概念

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