高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念導(dǎo)學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念導(dǎo)學(xué)案，共7頁。學(xué)案主要包含了典例解析等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.2.1 等差數(shù)列的概念（2）  導(dǎo)學(xué)案 1.能用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì).2.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.3.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應(yīng)用問題.重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的推導(dǎo)  1．等差數(shù)列的概念文字語言如果一個(gè)數(shù)列從第_2_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2．等差中項(xiàng)(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)．(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通項(xiàng)公式的應(yīng)用；一、典例解析例3.某公司購置了一臺價(jià)值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值會(huì)減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年 ，它的價(jià)值將低于購進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請確定d的范圍.         等差數(shù)列在實(shí)際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實(shí)際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實(shí)際問題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一般過程. 跟蹤訓(xùn)練1.  孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國經(jīng)濟(jì)百強(qiáng)縣.經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶動(dòng)了市民對住房的需求.假設(shè)該市2019年新建住房400萬平方米，預(yù)計(jì)在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在第（      ）年新建住房的面積開始大于820萬平方米？A.2026     B.  2027        C. 2028           D.2029  例4. 已知等差數(shù)列{an} 的首項(xiàng)a1＝2，在{an} 中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式.(2) b29是不是數(shù)列{an} 的項(xiàng)？若是，它是{an} 的第幾項(xiàng)？若不是 ，請說明理由. 對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？  等差數(shù)列的性質(zhì)         如果在一個(gè)等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入 )個(gè)合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個(gè)新的等差 數(shù)列.例5. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列，,且 求證:例5 是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？         通過上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來解釋這一性質(zhì)嗎？ 1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(　　)A．20　　　　　　　　B．30           C．40    D．502．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4 km(不含4 km)計(jì)費(fèi)10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車費(fèi)________元．3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________.4．在首項(xiàng)為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對值最小的項(xiàng)是________. 5．已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù). 1) 應(yīng)用等差數(shù)列解決生活中實(shí)際問題的方法.2) 等差數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間都插入 )個(gè)合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列.3) 等差數(shù)列，, 則 參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程一、典例解析例3.分析：該設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}為公差為－d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設(shè)備的價(jià)值不小于萬元；10年后，該設(shè)備的價(jià)值需小于11萬元．利用{an}的通項(xiàng)公式列不等式求解．解：設(shè)使用n年后，這臺設(shè)備的價(jià)值為an萬元，則可得數(shù)列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以數(shù)列{an}是一個(gè)公差為－d的等差數(shù)列.因?yàn)?/span>a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由題意，得a10≥11，a11＜11.   即：解得19<d≤20.9所以，d的求值范圍為19<d≤20.9跟蹤訓(xùn)練1.  C解：設(shè)從2019年開始，該市每年新建住房面積為萬平方米.由題意可知  是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1 =400 ，公差50 所以+() 50=50 令50 20，解得由于所以該市在2028年 建住房面積開始大于820萬平方米. 例4. 分析：（1） {an}是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把a1 ，a2表示為{bn}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè){an}中的第n項(xiàng)是{bn}中的第cn項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項(xiàng).解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為∵b1, b5, b5b1   =8∵b5b1   , 8, ,+() 2=2所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是=2（2）數(shù)列的各項(xiàng)依次是數(shù)列的第1,5,9,13，…項(xiàng)，這些下標(biāo)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則=4 3令4 3=29,   解得: =8所以， b29是數(shù)列的第8項(xiàng)對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？例5. 分析：利用等差數(shù)列的中的兩個(gè)基本量    ,再根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出即可得證.證明：設(shè)數(shù)列 的公差為,則+() +() +() +() 所以:,因?yàn)?/span>所以例5 通過上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來解釋這一性質(zhì)嗎？思路：∵,  達(dá)標(biāo)檢測1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2． 23.2　[根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi)．令a1＝11.2，表示4 km處的車費(fèi)，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時(shí)，n＝11，此時(shí)需要支付車費(fèi)a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．【答案】18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝.∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.]4． 【答案】－1　[可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝35－4n.則當(dāng)n≤8時(shí)an>0；當(dāng)n≥9時(shí)an<0.又a8＝3，a9＝－1.故絕對值最小的項(xiàng)為a9＝－1.]5．【答案】法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a，b，c(a<b<c)，則由題意得，解得法二：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝－2舍去，∴這三個(gè)數(shù)為4,6,8.