?《數列的概念》教學設計
課時1數列的概念及其表示
必備知識
學科能力
學科素養(yǎng)
高考考向
數列的概念和表示方法
學習理解能力
觀察記憶
概括理解
說明論證
應用實踐能力
分析計算
推測解釋
簡單問題解決
遷移創(chuàng)新能力
綜合問題解決
猜想探究
發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新
數學抽象
【考查內容】
1.依據若干項求通項公式或某一項
2.利用遞推公式求數列中的項或通項公式
3.借助數列的單調性求數列的最大項或最小項.
【考查題型】
選擇題、填空題、解答題
數列通項公式的概念和應用
數學抽象數學運算
數列遞推公式的概念和應用
邏輯推理
數學運算
數列前n項和的概念和應用
數學運算
一、本節(jié)內容分析
本節(jié)內容是對數列的概念及表示方法的初步探究,主要介紹數列的概念及分類,數列的表現(xiàn)方法,主要是通項公式和遞推公式,數列的前n項和.這些內容是后續(xù)學習等差數列、等比數列的基礎,在教材中起著引入鋪墊的作用.通過本節(jié)的學習,學生能夠掌握數列的通項公式、遞推公式、前n項和公式并熟練運用.
本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:

核心知識
1.數列的概念和表示方法
2.數列通項公式的概念和應用
3.數列遞推公式的概念和應用
4.數列前n項和的概念和應用
數學抽象
邏輯推理
數學運算
核心素養(yǎng)





二、學情整體分析
在學習本節(jié)內容之前,學生已經學習了函數的含義以及函數的表示方法,初中也有求找規(guī)律類型的題目,所以本節(jié)知識難度不是很大,但是大部分學生還是會在“數列實際上是一類定義在正整數集上的離散函數”有理解難度,對通項公式和前n項和公式的運算不到位,易忽視首項的運算.通過數列的遞推公式進行邏輯推理也是一個難點.
學情補充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教學活動準備
【任務專題設計】
1.數列的概念和表示方法
2.數列通項公式的概念和應用
3.數列遞推公式的概念和應用
4.數列前n項和的概念和應用
【教學目標設計】
1.了解數列的概念,理解數列是一種特殊函數,會用表格、圖象、通項公式表示數列,達到直觀想象核心素養(yǎng)水平.
2.會求簡單數列的通項公式,會根據通項公式判斷某數在不在數列中,達到數學抽象核心素養(yǎng)水平.
3.了解數列的遞推公式,會根據遞推公式寫出數列的前幾項,達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平.
4.了解數列前n項和公式,并能根據前n項和公式推導出通項公式,達到數學運算核心素養(yǎng)水平.
【教學策略設計】
由于本節(jié)內容涉及的新概念、新運算較多,教學時,可以組織學生收集、閱讀數列方面的研究成果,特別是我國古代的優(yōu)秀研究成果,如“楊輝三角”、《四元玉鑒》等,撰寫小論文,論述數列發(fā)展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件等;可以將數列與函數進行聯(lián)系,尤其是通過圖象的表現(xiàn),讓學生在直觀的環(huán)境下輕松地學習,提高學生學習數學的興趣,通過層層深入的講解,讓學生進一步加強對數列概念的理解和計算能力.
【教學方法建議】
情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________________
【教學重點難點】
重點:
1.理解數列的概念,會猜測數列的通項公式,已知通項公式寫出數列的任意一項.
2.根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項.
3.會計算簡單數列的前n項和.
難點:
1.認識數列是一種特殊函數,發(fā)現(xiàn)數列的規(guī)律,找出數列可能的通項公式.
2.理解遞推公式與通項公式的關系.
3.會利用前n項和求通項公式.
【教學材料準備】
1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教學活動設計
教學導入
師:同學們,上課之前我們先來看課本上這樣兩個例子:
1.王芳從1歲到17歲,每年生日測量的身高數據:75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.
2.一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數:5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.
以上的兩個例子中的數據有什么特點?它們的順序可以變換嗎?
【學生獨立思考,答不可以】
師:這都是日常生活中的例子,它們的共性就是其中的數據都是具有確定順序的,生活中還有很多這樣的例子.那么這列按照確定順序排列的數叫做什么呢?
【設計意圖】
由日常生活中的實例,讓學生思考其中的共性,分析數據的排列特點,激發(fā)學生興趣,引出課題.
教學精講
探究1 數列的概念和表示方法
【情境設置】
數據排列的順序
觀察下面數據的排列,類比上面實例的敘述,你能說明下面的一列數也是具有確定順序的嗎?
的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數:.
【學生思考,合作交流,回答問題,教師予以肯定】
【設情境 巧引入】
通過情境問題.學生思考,交流,回答問題,為數列概念的引入做好鋪墊.
【要點知識】
數列的概念
一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫做這個數列的項.數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項,常用符號表示,第二個位置上的數叫做這個數列的第2項,用表示……第個位置上的數叫做這個數列的第項,用表示.其中第1項也叫做首項.數列的一般形式是,簡記為.
師:哪位同學可以說一下集合中元素的性質?
生:確定性、無序性、互異性.
師:很好.但是同時我們要注意,和集合中元素性質相比較,數列中的數具有以下特點:
(1)數列的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列;
(2)定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同,因此,同一個數在數列中可以重復出現(xiàn).
所以這個和集合中的元素要區(qū)分清.那么我們再用規(guī)范的數列的語言描述一下剛才的問題.
【學生根據數列的概念,規(guī)范語言,回答:的次冪排列成的一列數是數列,記為,首項是,教師予以肯定并總結】
【情境學習】
學生根據事實情況或者數學中的運算定律,通過和教學導入的例子類比,得出這組數之間的關系:是有確定順序的一列數.
【要點知識】
數列和函數的關系
我們知道數列的一般形式是,而數列中的每一項和它的序號有如下對應關系:

師:如果類比于函數的自變量和函數值之間的關系,你能得出什么結論?如果說數列也是一種函數的話,那么數列的定義域和值域又都應該如何表示呢?
【概括理解能力】
通過教師提醒學生數列的數需要注意的點,引導學生根據概念,規(guī)范語言,概括出題目條件,鍛煉概括理解能力.
【引導學生思考,合作交流,回答問題,教師予以肯定】
【要點知識】
數列的函數表示
數列可看成從正整數集(或它的有限子集)到實數集的函數,其自變量是序號,對應的函數值是數列的第項,記為.
師:也就是說,當自變量從1開始,按照從小到大的順序依次取值時,對應的一列函數值就是數列.另一方面,對于函數,如果有意義,那么構成了一個數列.特別地,以前我們學過的函數的自變量通常是連續(xù)變化的,而數列是自變量為離散的數的函數.
【意義學習】
學生類比學過的函數的概念和相關的定義域、值域,得出數列也是一種特殊函數的概念,更深地理解數列的項數和每一項的關系.
師:類比于函數的表示方法,數列有幾種表示方法?
生:有列表法、圖象法、解析式法.
【要點知識】
列表法、圖象法
以①中例子中王芳的身高為例,用表格和圖象來表示.


師:由此可以看出數列圖象的什么特點?
【引導學生思考、交流發(fā)言,教師歸納整理】
師:可以總結出描出的點都是一群孤立的,都位于y軸的右側的點.那接著再來思考:如果用函數的解析式來表示數列,怎么表示?
【深度學習】
學生通過和函數的三要素的類比,得出數列也具有其“定義域”“值域”“解析式”,并相應的有三種表示方法.學習數列新概念的同時也對函數知識加深了印象.
【情境學習】
以直觀的教學手段來理解數學的抽象,以表格、圖象展示知識情境更能把抽象的數列表示形象地展示出來,有助于學生對知識的理解和掌握.
【引導學生類比,積極思考、互相交流、自由發(fā)言,教師歸納整理】
探究2 數列通項公項的概念和應用
師:如果數列的第項與它的序號之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數列的通項公式.例如上述例子求的次冪的通項公式為.顯然,通項公式就是數列的函數解析式,根據通項公式可以寫出數列的各項.
師:對于數列的通項公式需要注意如下幾點:
(1)并不是所有數列都能寫出其通項公式;(2)一個數列的通項公式有時是不唯一的;(3)數列的通項公式具有雙重身份,它表示了數列的第項,又是這個數列中所有各項的一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系.
師:能否根據通項公式,用表格和圖象描述一下這個數列?
【學生獨立思考,自主完成,教師巡視學生完成程度,總結答題情況】
師:觀察上面數列的圖象,你能得到哪些結論?是否可以對數列進行分類?
【學生閱讀教材,積極思考,師生共同歸納整理】
師:與函數類似,數列有其相應的“定義域”和“值域”.我們也可以定義數列的單調性,從第2項起,每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列;從第2項起,每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列;特別地,各項都相等的數列叫做常數列;而從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列.當然也可以按照數列項數的多少分為有窮數列和無窮數列.
【簡單問題解決能力】
引導學生根據所理解的概念,實際操作,已知數列通項公式,用表格和圖象形象地展示數列,鍛煉學生的動手操作和簡單問題解決能力.
【自主學習】
學生閱讀,積極思考,師生共同總結得到數列的分類,使學生在自主學習的情境中獲得知識.
【要點知識】
數列的分類

師:結合圖象,試著對課本上引入的三個例子做一下分類?
【學生思考,合作交流,回答問題,教師指定同學回答】
生:數列①(王芳1歲至17歲的身高)屬于有窮數列、遞增數列;數列②(月亮從第1天到第15天可見部分)屬于有窮數列、遞增數列;數列③(求的次冪屬于無窮數列、擺動數列.
師:我們現(xiàn)在已經明白了什么是數列,數列和函數又有怎樣的聯(lián)系,以及數列按不同的標準又可以分為哪幾類?那接下來我們就要重點對數列的應用進行研究,首先來看一下它的通項公式.
【典型例題】
根據所給數列的通項公式,寫出數列的項并畫出圖象
例1 根據下列數列的通項公式,寫出數列的前5項,并畫出它們的圖象.
(1);(2).
【學生獨立思考,自主完成,教師指定同學到黑板上作答,參照教材上解答,點評總結】
師:給定一個數列的通項公式,我們可以求出其中任意一項,如果反過來,已知數列的前幾項,我們能寫出它的通項公式嗎?該怎么寫?
【少教精教】
指定學生在黑板上作答或指定學生講解給全班,通過學生自己求項、描點、畫圖,教師少教,讓學生自主探究所給數列的性質,以達到精教的目的.
【教師引導出例題,學生閱讀教材,積極思考】
【典型例題】
根據所給數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式
例2 根據下列數列的前4項,寫出數列的一個通項公式:
(1);(2).
師:第(1)個數列,先觀察前4項的絕對值,它們和序號有怎樣的關系?
生:前4項的絕對值都是序號的倒數.
師:把絕對值符號去掉,再觀察下前4項與序號有什么關系?
生:奇數項為正,偶數項為負.
師:所以我們可以得到它的一個通項公式為?
生:.
師:正確！另外注意或常常用來表示正、負相間的變化規(guī)律.
師:第(2)個數列屬于什么數列?
生:擺動數列.
師:觀察它的奇數項和偶數項分別和序號的關系.
生:這個數列前4項的奇數項是2,偶數項是0,所以它的一個通項公式為.
師:那我們求數列通項公式有沒有可依照的方法?
【概括理解能力】
引導學生根據由類比函數得到的性質,將數列進行分類概括,更加深對概念的理解程度,鍛煉概括理解能力.
【學生積極思考,教師總結】
【要點知識】
找通項公式的方法
由前幾項歸納數列通項的常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數列)等方法.
師:找通項公式的一些具體策略還有:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項的符號特征和絕對值特征;⑤化異為同,對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,或尋找分子、分母之間的關系;⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用或處理.
師:那接下來我們用這些方法著重練幾道題目,求一下數列的通項公式.
【猜想探究能力】
教師一步步引導學生根據題目所給形式猜想、推測,找其內在聯(lián)系,從而最終總結出符合的通項公式,鍛煉猜想探究能力.
【鞏固練習】
表示數列、求數列通項公式
1.寫出下列數列的前10項,并作出它們的圖象:
(1)所有正偶數的平方按從小到大的順序排列成的數列;
(2)所有正整數的倒數按從大到小的順序排列成的數列;
(3)當自變量依次取時,函數的值構成的數列;
(4)數列的通項公式為
2.根據數列的通項公式填表:

3.除數函數的函數值等于的正因數的個數,例如,.寫出數列的前10項.
4.根據下列數列的前5項,寫出數列的一個通項公式:
(1);
(2).
【學生獨立完成,教師巡視指導】
師:我們已經學會了求數列通項公式的方法,求出來通項公式,它還有什么用處?
【先學后教】
先引導學生分析題目,在完成的同時也在體會做題方法,最后由教師總結出相應的做題方法和具體策略,讓學生對做題方法印象更深、運用更好.
【分析計算能力】
分析題目條件,利用通項公式判斷某項在不在數列中,同時注意數列項數是正整數的隱含限制條件,鍛煉分析計算能力.
【典型例題】
根據通項公式判斷所給數是否為數列中的一項
例3 如果數列的通項公式為,那么120是不是這個數列的項?如果是,是第幾項?
師:這道題求120是不是數列中的一項,實際就是求什么?
生:實際上是求方程是否有解.
師:對解有限定條件嗎?可以自己先求算一下.
【學生獨立思考,自主完成,教師指定同學回答】
生:解得.舍去.
師:要判斷120是不是數列中的項,就是要回答是否存在正整數,使得,也就是判斷上述關于的方程是否有正整數解.
師:那我們現(xiàn)在可以總結一下通項公式的常見的作用.
【要點知識】
數列通項公式的作用
1.求數列中任意一項.2.檢驗某數是否在該數列中.
師:好了,同學們,本節(jié)課我們所學的內容你記住了嗎?
【教師啟發(fā)學生總結重點,指定同學站起來回答】
【課堂小結】
數列的概念及其表示
1.數列的概念和表示方法.
2.通項公式的求法和應用.
【設計意圖】
教師引導學生自主總結當堂課,整體學習,培養(yǎng)學生對學習內容的整體認識和把握.提升概括理解能力和邏輯推理核心素養(yǎng).
教學評價
學完本節(jié)課,我們應該對數列的概念,尤其是數列與函數的聯(lián)系加深理解,通常也會類比函數的單調性求解數列的單調性和最值.注意數列在不同標準下的分類.認識到數列的常用的三種表示方法:表格、圖象、通項公式.遞推公式也可表示一個數列,但通常應用于求數列的前幾項,或者運用方法轉化為通項公式.主要的是要掌握通項公式的概念、求法、應用,注意對于一個數列來說,可能不存在通項公式,如果存在通項公式的話,可能不止一個.本節(jié)課還引入了一個新的概念,就是數列的前項和,本節(jié)課任務只需明確前項和的概念,以及前項和公式向通項公式轉化的思路.注意考慮時的首項是否符合通項公式,若滿足,則可將通項公式合并寫成一個;若不滿足,則需要寫成分段形式.
應用所學知識,完成下題:
已知數列的通項公式是.
(1)若,則數列中有多少項是負數?為何值時,有最小值?并求出最小值.
(2)對于,都有,求實數的取值范圍.
解析:(1)由,解得.因為,所以,3,所以數列中有兩項是負數,即為.因為,由二次函數性質,得或時,有最小值,其最小值為.
(2)由,知該數列是一個遞增數列,又因為通項公式,可看作是關于的二次函數,考慮到,所以,解得.所以實數的取值范圍為.
【設計意圖】
引導學生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,讓學生在運用課程教學過程中提升學科能力和核心素養(yǎng).
教學反思
學習完本節(jié),我們應該了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象,通項公式),理解數列的通項公式、遞推公式的含義,并能應用公式解決一些數列問題.教學過程中要以恰當的教學情境,引入課題.注意問題情境的多次使用,服務于課堂的多個環(huán)節(jié).要處理好數列與函數的關系,以處理好本節(jié)課的難點.在教學中要不惜時間讓學生用不同的方法表示具體數列,讓學生自主探究、合作交流,教師及時地引導學生改進方法,解決問題.最后,讓學生總結各種表示方法的共同特征,進而認識到數列是特殊的函數.這樣,學生就容易理解數列是“特殊”的函數到底“特殊”在哪里了,并順勢給出通項公式,也就是水到渠成的事了.
【以學定教】
綜合函數的表示方法和單調性,加深對數列表示方法和分類標準的理解,掌握數列通項公式的應用,理解遞推公式、前n項和公式的概念,解決問題.
【以學論教】
通過情境教學法引出本節(jié)課的學習,探究數列、通項公式、遞推公式和數列的前n項和公式,根據學生實際學習情況和課堂效果總結出教學過程中的方法和策略的成功之處、不足之處及改進方法.

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4.1 數列的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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