高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修第二冊4.1 數(shù)列的概念第1課時學案設計-學案下載-教習網(wǎng)

第1課時數(shù)列的概念及通項公式
學習目標 1.理解數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．
知識點一數(shù)列及其有關概念
1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．
2. 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．
思考數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？
答案不是．順序不一樣．
知識點二數(shù)列的分類
知識點三函數(shù)與數(shù)列的關系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．
知識點四數(shù)列的單調(diào)性
知識點五通項公式
1．如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．
2．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．
思考既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，那么表示數(shù)列除了用通項公式外，還可以用哪些方法？
答案還可以用列表法、圖象法．
1．1,1,1,1是一個數(shù)列．( √ )
2．數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}．( × )
3．如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列．( × )
4．a(chǎn)n與{an}表達不同的含義．( √ )
一、數(shù)列的有關概念和分類
例1 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列．
反思感悟 (1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．
(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外．
跟蹤訓練1 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列．
二、由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式
例2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
解 (1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
所以它的一個通項公式為an＝eq \f(?－1?n,n)，n∈N*.
(2)數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一個通項公式為an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，所以通項公式可以寫成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)，))由第(1)題也可以寫成an＝eq \f(1＋?－1?n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路
(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等．
(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式．
(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號．
(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．
跟蹤訓練2 寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
(1)－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(5,8)，eq \f(13,16)；
(2)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)；
(3)7,77,777,7 777.
解 (1)各項分母分別為21,22,23,24，易看出第1,2,3,4項分子分別比分母少了3，則原數(shù)列可化為eq \f(21－3,21)，eq \f(22－3,22)，eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，所以它的一個通項公式為an＝eq \f(2n－3,2n)，n∈N*.
(2)這個數(shù)列的前4項的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1，
所以它的一個通項公式為an＝eq \f(?n＋1?2－1,n＋1)，n∈N*.
(3)這個數(shù)列的前4項可以變?yōu)閑q \f(7,9)×9，eq \f(7,9)×99，eq \f(7,9)×999，eq \f(7,9)×9 999，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(100－1)，eq \f(7,9)×(1 000－1)，
eq \f(7,9)×(10 000－1)，
即eq \f(7,9)×(10－1)，eq \f(7,9)×(102－1)，eq \f(7,9)×(103－1)，
eq \f(7,9)×(104－1)，
所以它的一個通項公式為an＝eq \f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.
三、數(shù)列通項公式的簡單應用
例3 已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)寫出數(shù)列的前3項；
(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項，3是否為數(shù)列{an}中的項．
解 (1)在通項公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項分別為1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq \f(9,2)(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq \f(3,2)，故3不是數(shù)列{an}中的項．
反思感悟 (1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項．
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．
跟蹤訓練3 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求實數(shù)q的值；
(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項．
解 (1)由題意知q4－q2＝72，
則q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)當q＝3時，an＝3n.
顯然－81不是此數(shù)列中的項；
當q＝－3時，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，無解，
∴－81不是此數(shù)列中的項．
延伸探究
已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，n∈N*.問當n為何值時，an取得最小值？并求出最小值．
解 ∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，
∴當n＝2或3時，an取得最小值，為a2＝a3＝－2.
數(shù)列單調(diào)性的應用
典例已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n，n∈N*.試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由．
解方法一 an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n＝eq \f(?9－n?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,11)))n,11)，
當n0，即an＋1>an；
當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當n>9時，an＋1－an0，,a>1，,a7＝?3－a?×7－3

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