《平行四邊形》全章復習與鞏固（知識講解）【學習目標】1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關系.2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關性質和常用判別方法, 并能運用這些知識進行有關的證明和計算.3. 掌握三角形中位線定理.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、平行四邊形1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質：（1）對邊平行且相等；        （2）對角相等；鄰角互補；        （3）對角線互相平分；        （4）中心對稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；            （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；            （3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．         角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；            （5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．    邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；     對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.特別說明：平行線的性質：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點二、矩形1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；        （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形.         （2）對角線相等的平行四邊形是矩形.         （3）有三個角是直角的四邊形是矩形.特別說明：由矩形得直角三角形的性質：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等于斜邊的一半．要點三、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質：（1）具有平行四邊形的一切性質；         （2）四條邊相等；         （3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；  （4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質：（1）對邊平行；        （2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.【典型例題】類型一、平行四邊形 1  （2021·廣東惠州·二模）如圖，在平行四邊形中，點，分別是，的中點，點，在對角線上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）連接交于點，若，求的長【答案】（1）見解析；（2）2.5【分析】（1）先由平行四邊形的性質及點G，H分別是AB，CD的中點，得出△AGE和△CHF全等的條件，從而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性質和角的互補關系得出GE=HF，GE∥HF，則可得出結論．（2）先由平行四邊形的性質及BD=10，得出OB=OD=5，再根據(jù)AE=CF、AE+CF=EF及OA=OC得出AE=OE，從而可得EG是△ABO的中位線，利用中位線定理可得EG的長度．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF，∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴AG=CH，∵AE=CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE=HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）連接BD交AC于點O，如圖：
 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BD=10，∴OB=OD=5，∵AE=CF，OA=OC，∴OE=OF，∵AE+CF=EF，∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE，又∵點G是AB的中點，∴EG是△ABO的中位線，∴EG=OB=2.5．∴EG的長為2.5．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及三角形的中位線定理等知識點，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式】（2021·重慶九龍坡·模擬預測）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，在一條直線上，已知．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，且，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）由平行四邊形的性質可得出AD∥CF，AD=CF，由BE=CF得到AD=BE，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形ABED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質得到AD=CF，由含30°角直角三角形的性質求出BC，根據(jù)線段的和差求出CF，即可得到AD的長．證明：（1）∵四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD=CF，∵B，E，C，F在一條直線上，∴AD∥BE，∵BE=CF．∴AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形；（2）∵四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD=CF，∵∠ABC=60°，且AC⊥BF，AB=6，∴∠BAC=30°，∴BC=AB=3，∵BF=5，∴CF=BF-BC=2，∴AD=2．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，含30°直角三角形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質和判定是解決問題的關鍵．2、（2020·浙江杭州·模擬預測）已知一個直角三角形，其中，，．將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點C，與邊交于點D．（1）如圖1，若折疊后使點B與點O重合，則點D的坐標為__________；（2）如圖2，若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；（3）如圖3，若折疊后點B落在邊上的點為點，設，，試寫出y關于x的函數(shù)解析式．【答案】（1）（0.5，1）；（2）C（0，）；（3）y＝﹣x2+1（0≤x≤2）【分析】（1）由題意可得CD為△OAB的中位線，進一步即可求出D點坐標；（2）設C點坐標為（0，m），則由折疊的性質可用含m的代數(shù)式表示AC，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程即可求出m的值；（3）由折疊的性質可用含y的代數(shù)式表示出B′C，然后在Rt△B′OC中，根據(jù)勾股定理可得關于x、y的方程，整理即得結果．解：（1）由折疊的性質可知，BC＝OC，CD⊥OB，則CD為△OAB的中位線，∴，，∴D（0.5，1），故答案為：（0.5，1）；（2）如圖2，設C點坐標為（0，m）（m＞0），則BC＝OB﹣OC＝2﹣m，∵折疊后點B與點A重合，∴AC＝BC＝2﹣m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＝OC2+OA2，即（2﹣m）2＝m2+12，解得m＝，所以C（0，）；（3）如圖3，∵OB′＝x，OC＝y，折疊后點B落在邊OA上的點為B′，∴B′C＝BC＝OB﹣OC＝2﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2＝OC2+OB′2，即（2﹣y）2＝y2+x2，即y＝﹣x2+1，由點B′在邊OA上，有0≤x≤2，所以函數(shù)解析式為y＝﹣x2+1（0≤x≤2）．【點撥】本題以直角坐標系為載體，主要考查了折疊的性質、三角形的中位線和勾股定理等知識，熟練掌握上述知識，靈活應用方程思想是解題的關鍵．舉一反三：【變式】（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E，F在對角線AC上，且AE＝CF（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形（2）連接BD交AC于點O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的長【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件易證得，可得，所以，所以可得四邊形EGFH是平行四邊形；（2）因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以，因為，且，等量代換可得，所以點為中點，所以且，即可得出EG的長.解：（1）四邊形為平行四邊形，且，，點，分別是，的中點，，在與中，,四邊形是平行四邊形.（2）如圖，連接BD交AC于點O，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，，為中點，為中點，且.【點撥】本題考查平行四邊形的性質以及判定綜合題型，做題時如果已知有平行四邊形要想到該平行四邊形的所有性質都可以當做已知條件應用，熟練掌握平行四邊形的性質及判定是本題做題關鍵；涉及到求長度的，如果沒有直角，則不考慮勾股定理，只考慮全等或線段的等量代換，有中點的話要想到特殊的中線以及中位線，驗證題中是否可轉化成這兩個結論進行應用.類型二、矩形 3、（2021·新疆·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F在BC的延長線上，且．求證：（1）；（2）四邊形AEFD是平行四邊形．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根據(jù)全等三角形的判定即可得到；（2）根據(jù)矩形的性質可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)可得AD=EF，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形AEFD是平行四邊形． 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，，∴（SAS）．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，即AD=BE+EC，∵BE=CF，∴AD=CF+EC，即AD=EF，∵點F在BC的延長線上，∴AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形．【點撥】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定，平行四邊形的判定．熟記各個圖形的性質和判定是解題的關鍵．【變式】（2011·貴州遵義·中考真題）把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH、DG．（1）求證：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求線段FG的長．【答案】（1）見解析 （2）3cm【分析】1）先根據(jù)矩形的性質得出∠ABD=∠BDC，再由圖形折疊的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，進而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根據(jù)勾股定理得出BD的長，進而得出BF的長，由圖形翻折變換的性質得出CG=FG，設FG=x，則BG=8﹣x，再利用勾股定理即可求出x的值．解：（1）如圖，，，，.是翻折而成的，，，.翻折而成的，，，，在和中，，，，.（2）四邊形是矩形，，，，，，又由（1）知，，，.設，則，在中，，即，，即.【點撥】本題主要考查矩形的折疊問題，涉及知識點有全等三角形的證明與性質，勾股定理，折疊性質等知識點，解題關鍵在于能夠靈活運用勾股定理類型三、菱形4．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點O，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求矩形的周長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用全等三角形性質和菱形對角線互相垂直平分，證四邊形是矩形；（2）根據(jù)菱形性質得出，，由含30度直角三角形的性質求出OB，即可求解．（1）證明：∵△BOC?△CEB ．∴，（全等三角形的對應邊相等）∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∵四邊形是菱形，∴ （菱形的兩條對角線互相垂直）∴∴四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）∵四邊形是菱形，，，∴ （菱形的四條邊相等）， ∵∴在中，（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半），∴矩形的周長．【點撥】本題考查了菱形的性質、全等三角形性質、平行四邊形的判定和性質以及矩形的性質，熟記各種特殊四邊形的判定方法和性質以及勾股定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式】（2021·青海·中考真題）如圖，是的對角線．（1）尺規(guī)作圖（請用2B鉛筆）：作線段的垂直平分線，交，，分別于，，，連接，（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）試判斷四邊形的形狀并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）菱形，見解析【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出垂直平分線即可；（2）根據(jù)一組對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求解．解：（1）作的垂直平分線連接，．（2）解：四邊形是菱形，理由如下：∵是的垂直平分線，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖——線段垂直平分線、菱形的判定與性質，掌握上述基本性質定理是解題的關鍵．類型四、正方形5、（2021·湖北荊門·中考真題）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上的動點，，且，．（1）求證：；（2）若，，用x表示DF的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明△ABE≌△EHF，即可證明BE=CH；（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3?x，利用勾股定理即可求解． （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，AB=BC，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°．而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEH．又∵EF=AE，∴△ABE≌△EHF．∴BE=FH，AB=EH，∴AB=BC=EH，則BC-EC=EH-EC，∴BE=CH；（2）解：作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，∴CE=3?x．∴CH=FH=FP=x，∴PD=3?x．．【點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．舉一反三：【變式1】（2021·山東泰安·中考真題）四邊形為矩形，E是延長線上的一點．（1）若，如圖1，求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，點F是上的點，，于點G，如圖2，求證：是等腰直角三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得出，再根據(jù)一組對邊平行且相等證明即可；（2）先證矩形是正方形，再證，得出，再證即可． 證明：（1）∵是矩形，，，又，，，∴四邊形是平行四邊形．（2），∴矩形是正方形，，，，，又，，，又，，，，，是等腰直角三角形．【點撥】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定、正方形的判定與性質和全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練準確運用相關知識進行推理證明．【變式2】 （2021·江西·新余市第一中學模擬預測）如圖，在正方形中，點、分別在邊和上，且，連接、，其相交于點，將沿翻折得到，延長交延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到，，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；（2）根據(jù)折疊的性質得到，，證明，根據(jù)勾股定理列式計算即可． （1）證明：四邊形是正方形，，，在和中，，，；（2）解：，，，，，由折疊的性質可知，，，，，，，，在中，，即，解得：，．【點撥】本題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質、折疊的性質、勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、正方形的性質定理是解題的關鍵．【變式3】 （2019·江蘇寶應·一模）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當△ABC滿足         時（添加一個條件），四邊形ADCE是正方形．【答案】（1）見解析；（2）∠BAC＝90°【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質“三線合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分線的定義得∠MAE=∠CAE，從而證得；然后根據(jù)矩形的判定“有三個角是直角的四邊形是矩形”即可證明結論．（2）假設當，先根據(jù)等腰三角形的性質由AB=AC得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質得AD=DC，從而根據(jù)正方形的判定得四邊形ADCE為正方形．解：（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=， ∵AN是∠CAM的平分線， ∴∠MAE=∠CAE=， ∴∠DAE=，∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當△ABC滿足時，四邊形ADCE是一個正方形，理由如下；∵AB＝AC，∴，∵AD⊥BC，∴，∴，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形，故當時，四邊形ADCE是一個正方形．【點撥】本題主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性質及角平分線的定義等知識點的綜合運用．
 

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