1．了解常量、變量和函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函數(shù)關(guān)系.
2．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題.
3．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關(guān)系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的再認(rèn)識.
4. 通過討論選擇最佳方案的問題，提高綜合運用所學(xué)函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.
【知識網(wǎng)絡(luò)】
變化的世界
函 數(shù)
建立數(shù)學(xué)模型
應(yīng)
用
概 念
選擇方案
概 念
再認(rèn)識
表示方法
圖 象
性 質(zhì)
一次函數(shù)
（正比例函數(shù)）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程組
與數(shù)學(xué)問題的綜合
與實際問題的綜合
列表法
解析法
圖象法
【要點梳理】
要點一、函數(shù)的相關(guān)概念
一般地，在一個變化過程中. 如果有兩個變量 與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).
是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時＝，那么叫做當(dāng)自變量為時的函數(shù)值.
函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
要點二、一次函數(shù)的相關(guān)概念
一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當(dāng)＝0時，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).
要點三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1、函數(shù)的圖象
如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.
要點詮釋：
直線可以看作由直線平移||個單位長度而得到（當(dāng)＞0時，向上平移；當(dāng)＜0時，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征
掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
要點詮釋：
理解、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：
（1）決定直線從左向右的趨勢（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．
（2）兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：
與相交；
，且與平行；
，且與重合；
（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別
一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.
要點四、用函數(shù)的觀點看方程、方程組、不等式
【典型例題】
類型一、函數(shù)的概念
1、（2020·安徽安慶市·八年級期中）下列圖象中，表示y不是x的函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依據(jù)函數(shù)的定義即可判斷．
解：選項B中，當(dāng)x＞0時對每個x值都有兩個y值與之對應(yīng)，不滿足函數(shù)定義中的“唯一性”，而選項A、C、D對每個x值都有唯一y值與之對應(yīng)．
故選B．
【點撥】本題考查了函數(shù)的定義．判定依據(jù)是看是否滿足定義中的“任意性”、“唯一性”．
舉一反三：
【變式1】（2019·全國八年級單元測試）下列函數(shù)中，一次函數(shù)為( )
A．y＝x3B．y＝2x2＋1C．y＝1xD．y＝－3x
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義逐一進(jìn)行判斷即可.
選D.
【點撥】本題考查一次函數(shù)的意義，注意基本形式和基本概念的掌握. 一般地，形如y=kx+b（k≠0，k，b是常數(shù)），那么y叫做x的一次函數(shù)．當(dāng)b=0時，y=kx+b即y=kx，即正比例函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).
【變式2】（2019·全國八年級單元測試）下列函數(shù)①y＝2x﹣1，②y＝πx，③y＝1x，④y＝x2中，一次函數(shù)的個數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．
解：①②是一次函數(shù)；③是反比例函數(shù)；④最高次數(shù)是2次，是二次函數(shù)．
則一次函數(shù)的個數(shù)是2．
故選：B．
【點撥】本題考查一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y=kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．
類型二、函數(shù)的概念
2、（2018·天津全國·八年級單元測試）函數(shù) 的自變量x的取值范圍是___________．
【答案】x≥﹣1
解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得：

解得：
故答案為：
點撥：二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于零.
舉一反三：
【變式1】（2018·全國八年級單元測試）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是________．
【答案】x≠1
解：由題意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案為：x≠1.
【變式2】（2018·全國八年級課時練習(xí)）已知2x－y＝0，且x－5＞y，則x的取值范圍是________．
【答案】x＜－5
解：由2x－y＝0，可以得到y(tǒng)=2x，代入可已轉(zhuǎn)化為
可以解得
故答案為
類型三、一次函數(shù)的解析式
3、（2020·貴州安順市·八年級期末）某商店進(jìn)了一批貨，每件3元，出售時每件加價0.5元，如售出x件應(yīng)收入貨款y元，那么y(元)與x(件)的函數(shù)表達(dá)式是_________________．
【答案】y=3.5x
解：根據(jù)總價=單價×數(shù)量，單價為（3+0.5）元，可得：y=（3+0.5）x=3.5x．故y與x的函數(shù)關(guān)系式是：y=3.5x．
故答案為：y=3.5x．
點撥：本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】（2019·大慶市萬寶學(xué)校七年級期中）如果是方程組的解，則一次函數(shù)y＝mx＋n的解析式為_________
【答案】y=x+2
【分析】把方程組的解代入方程組得到關(guān)于m、n的方程組，然后求出m、n的值，再代入函數(shù)解析式即可得解．
解：根據(jù)題意，將代入方程組,
得
即
①×2得，6m-2n=2…③，
②-③得，3m=3，
∴m=1，
把m=1代入①，得，3-n=1，
∴n=2，
∴一次函數(shù)解析式為y=x+2．
∴故答案為y=x+2．
【點撥】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，根據(jù)方程組的解的定義得到關(guān)于m、n的方程組并求出m、n的值是解題的關(guān)鍵．
類型四、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
4、（2018·山西八年級二模）對于一次函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是( )
A．函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)是
B．函數(shù)值隨自變量的增大而減小
C．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限
D．函數(shù)的圖象向下平移個單位長度得到的圖象
【答案】A
【分析】分別根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．
【詳解】
A、令y=0，則x=2，因此函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（2，0），故A選項錯誤；
B、因為一次函數(shù)y=-2x+4中k=-2＜0，因此函數(shù)值隨x的增大而減小，故C選項正確；
C、因為一次函數(shù)y=-2x+4中k=-2＜0，b=4＞0，因此此函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故C選項正確；
D、由“上加下減”的原則可知，函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得y=-2x的圖象，故D選項正確．
故選A．
【點撥】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2020·山西九年級專題練習(xí)）正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的函數(shù)值y隨著x增大而減小，則一次函數(shù)y=x+k的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)自正比例函數(shù)的性質(zhì)得到k＜0，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到一次函數(shù)y=x+k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸的負(fù)半軸相交．
解：∵正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∵一次函數(shù)y=x+k的一次項系數(shù)大于0，常數(shù)項小于0，
∴一次函數(shù)y=x+k的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸的負(fù)半軸相交．
故選A．
【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象：一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小；圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，b）．
【變式2】（2020·山東菏澤市·八年級期末）函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象如圖，則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集為（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2
【答案】C
解：根據(jù)圖象可知y=kx+b與x軸交于（2,0），圖像在交點的左側(cè)部分滿足不等式kx+b＞0 ，故解集為xnx+4n>0就是直線y=-x+m位于直線y=nx+4n的上方且位于x軸的上方的圖象，據(jù)此求得自變量的取值范圍即可．
【詳解】
當(dāng)時，對于，則．故的解集為．與的交點的橫坐標(biāo)為，觀察圖象可知的解集為．的解集為．為整數(shù)，．
【點撥】此題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，掌握運算法則是解題關(guān)鍵
類型六、一次函數(shù)的應(yīng)用
6、（2020·湖南益陽市·八年級期末）一個有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時刻開始4 min內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的8 min內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量是兩個常數(shù)．容器內(nèi)的水量y(單位：L)與時間x(單位：min)之間的關(guān)系如圖所示．
(1)當(dāng)4≤x≤12時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)直接寫出每分進(jìn)水，出水各多少升．
【答案】（1）y＝x＋15(4≤x≤12)（2）進(jìn)水5L，出水3.75L
【解析】
試題分析：（1）用待定系數(shù)法求對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）每分鐘的進(jìn)水量根據(jù)前4分鐘的圖象求出，出水量根據(jù)后8分鐘的水量變化求解．
試題解析：（1）設(shè)當(dāng)4≤x≤12時的直線方程為：y=kx+b（k≠0）．∵圖象過（4，20）、（12，30），∴，解得：，∴（4≤x≤12）；
（2）根據(jù)圖象，每分鐘進(jìn)水20÷4=5升，設(shè)每分鐘出水m升，則 5×8﹣8m=30﹣20，解得：m=．
故每分鐘進(jìn)水、出水各是5升、升．
考點：1．一次函數(shù)的應(yīng)用；2．分段函數(shù)．
舉一反三：
【變式1】（2020·湖北黃石市·黃石十四中九年級其他模擬）文美書店決定用不多于20000元購進(jìn)甲乙兩種圖書共1200本進(jìn)行銷售.甲、乙兩種圖書的進(jìn)價分別為每本20元、14元，甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1.4倍，若用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本.
（1）甲乙兩種圖書的售價分別為每本多少元？
（2）書店為了讓利讀者，決定甲種圖書售價每本降低3元，乙種圖書售價每本降低2元，問書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？（購進(jìn)的兩種圖書全部銷售完.）
【答案】（1）甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元；（2）甲種圖書進(jìn)貨533本，乙種圖書進(jìn)貨667本時利潤最大.
【分析】
（1）乙種圖書售價每本元，則甲種圖書售價為每本元，根據(jù)“用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本”列出方程求解即可；
（2）設(shè)甲種圖書進(jìn)貨本，總利潤元，根據(jù)題意列出不等式及一次函數(shù)，解不等式求出解集，從而確定方案，進(jìn)而求出利潤最大的方案．
【詳解】
（1）設(shè)乙種圖書售價每本元，則甲種圖書售價為每本元．由題意得：
，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
所以，甲種圖書售價為每本元，
答：甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元．
（2）設(shè)甲種圖書進(jìn)貨本，總利潤元，則
．
又∵，
解得：．
∵隨的增大而增大，
∴當(dāng)最大時最大，
∴當(dāng)本時最大，
此時，乙種圖書進(jìn)貨本數(shù)為（本）．
答：甲種圖書進(jìn)貨533本，乙種圖書進(jìn)貨667本時利潤最大．
【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系或不等關(guān)系是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．
【變式2】（2020·江蘇南通市·南通田家炳中學(xué)七年級期末）為降低空氣污染，公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉嚕媱澷徺IA型和B型兩種公交車共10輛，其中每臺的價格，年均載客量如表：
若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元
（1）求購買每輛A型公交車和每輛B型公交車分別多少萬元？
（2）如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車年均載客總和不少于680萬人次，有哪幾種購車方案？請你設(shè)計一個方案，使得購車總費用最少．
【答案】（1）購買每輛A型公交車100萬元，購買每輛B型公交車150萬元；（2）購買A型公交車8輛時，購車的總費用最小，為1100萬元．
【分析】
（1）根據(jù)“購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元”列方程組求解可得；
（2）設(shè)購買A型公交車x輛，則購買B型公交車（10-x）輛，根據(jù)“總費用不超過1200萬元、年均載客總和不少于680萬人次”求得x的范圍，設(shè)購車的總費用為W，列出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
【詳解】
(1)根據(jù)題意,得：
解得：
答：購買每輛A型公交車100萬元，購買每輛B型公交車150萬元；
(2)設(shè)購買A型公交車x輛,則購買B型公交車(10?x)輛，
根據(jù)題意得：
解得：
設(shè)購車的總費用為W，
則W=100x+150(10?x)=?50x+1500，
∵W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=8時，W取得最小值，最小值為1100萬元．
【點撥】考查二元一次方程組，一元一次不等式組以及一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找到題目中的等量關(guān)系或者不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
【變式3】（2020·陜西九年級專題練習(xí)）某校開展校園藝術(shù)節(jié)系列活動，派小明到文體超市購買若干個文具袋作為獎品．這種文具袋標(biāo)價每個10元，請認(rèn)真閱讀結(jié)賬時老板與小明的對話：
（1）結(jié)合兩人的對話內(nèi)容，求小明原計劃購買文具袋多少個？
（2）學(xué)校決定，再次購買鋼筆和簽字筆共50支作為補充獎品，再次購買獎品總支出不超過400元．其中鋼筆標(biāo)價每支8元，簽字筆標(biāo)價每支6元，經(jīng)過溝通，這次老板給予8折優(yōu)惠，那么小明最多可購買鋼筆多少支？
【答案】（1）17；（2）100.
【分析】
根據(jù)題意設(shè)小明原計劃購買文具袋個，則實際購買了個，則可列方程，解得x的值即可解答.
據(jù)題意設(shè)小明可購買鋼筆支，則購買簽字筆支，則可列不等式，解得．即最多可以購買100支.
解：（1）設(shè)小明原計劃購買文具袋個，則實際購買了個，
依題意得：．
解得．
答：小明原計劃購買文具袋17個．
（2）設(shè)小明可購買鋼筆支，則購買簽字筆支，
依題意得：．
解得．
即．
答：明最多可購買鋼筆100支．
【點撥】本題考查一次函數(shù)及不等式，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵.
類型七、一次函數(shù)綜合
7、（2018·浙江溫州市·八年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，過點分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別為點B，C，取AC的中點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D，直線PD與AB交于點Q，則線段PQ的長為______，直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為______．
【答案】5
【分析】連接OQ，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程得到，，求得，設(shè)直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為，解方程組即可得到結(jié)論．
解：連接OQ，
點，
軸，軸，
，
點P是AC的中點，
，
點C關(guān)于直線OP的對稱點D，
，，，
在與中，，
≌，
，
設(shè)，
，，
，
，
，
，，
，
設(shè)直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為，
把，代入得，，
解得：，
直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為，
故答案為：5，．
【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】（2019·江蘇泰州市·九年級月考）如圖，已知 A、B 兩點的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圓心坐標(biāo)為（0，﹣1），半徑為 1，E 是⊙C 上的一動點，則△ABE 面積的最大值為（ ）
A．B．3+C．3+D．4+
【答案】A
【分析】過點C作CD⊥AB，延長DC交⊙C于E，此時△ABE面積的最大值，點E在過點C垂直于AB的直線和圓C在點C下方的交點，然后求出直線AB解析式，進(jìn)而得出CD解析式，即可得出點D坐標(biāo)，再求出CD，進(jìn)而得出DE，再用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．
解：如圖，過點C作CD⊥AB，延長DC交⊙C于E，此時△ABE面積的最大值（AB是定值，只要圓上一點E到直線AB的距離最大即可），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為 y＝x+1 ①，
∵CD⊥AB，C（0，﹣1），
∴直線CD的解析式為y＝﹣2x﹣1 ②，
聯(lián)立①②得，D（﹣，），
∴CD＝＝，
∵⊙C的半徑為1，
∴DE＝CD+CE＝+1，
∵A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∴S△ABE的最大值＝AB?DE＝（+1）×＝2+.
故選 A.
【點撥】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法，求兩條直線的交點的方法，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出點E的位置，是一道中等難度的試題．
【變式2】（2020·泰安市·山東東平東原實驗學(xué)校九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，6），且與x軸相交于點B，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點C，點C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求k、b的值；
（2）請直接寫出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．
（3）若點D在y軸上，且滿足S△BCD＝2S△BOC，求點D的坐標(biāo)．
【答案】（1）k=-1，b=4；（2）x＜1；（3）點D的坐標(biāo)為D（0，﹣4）或D（0，12）．
【分析】
（1）用待定系數(shù)法求解；（2）kx+b＞3x，結(jié)合圖象求解；（3）先求點B的坐標(biāo)為（4，0）．設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），直線DB：y＝-，過點C作CE∥y軸，交BD于點E，則E（1，），可得CE，S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣，由S△BCD＝2S△BOC可求解.
解：（1）當(dāng)x＝1時，y＝3x＝3，
∴點C的坐標(biāo)為（1，3）．
將A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：
解得：；
（2）由kx+b﹣3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵點C的橫坐標(biāo)為1，
∴x＜1；
（3）由（1）直線AB：y＝﹣x+4
當(dāng)y＝0時，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，0）．
設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，m），
∴直線DB：y＝-，
過點C作CE∥y軸，交BD于點E，則E（1，），
∴CE＝|3﹣ |
∴S△BCD＝S△CED+S△CEB＝＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣ |．
∵S△BCD＝2S△BOC，即2|3﹣ |＝×4×3×2，
解得：m＝﹣4或12，
∴點D的坐標(biāo)為D（0，﹣4）或D（0，12）．
【點撥】考核知識點：一次函數(shù)的綜合運用.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵.方程（組）、不等式問題
函 數(shù) 問 題
從“數(shù)”的角度看
從“形”的角度看
求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
為何值時，函數(shù)的值為0？
確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標(biāo)
求關(guān)于、的二元一次方程組的解．
為何值時，函數(shù)與函數(shù)的值相等？
確定直線與直線的交點的坐標(biāo)
求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
為何值時，函數(shù)的值大于0？
確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標(biāo)的范圍
A型
B型
價格（萬元/輛）
a
b
年均載客量（萬人/年/輛）
60
100

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