?專題6.9 《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 掌握平行四邊形的概念，理解并掌握它們之間邊、角、對角線之間的關(guān)系.
2. 探索并掌握平行四邊形有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法, 并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.
3. 掌握三角形中位線定理.
4.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和，并解決相關(guān)問題。
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、平行四邊形
1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2．性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；
（2）對角相等；鄰角互補(bǔ)；
（3）對角線互相平分；
（4）中心對稱圖形.
3．面積：
4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（5）任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．
邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
要點(diǎn)詮釋：平行線的性質(zhì)：
（1）平行線間的距離都相等；
（2）等底等高的平行四邊形面積相等.
要點(diǎn)二、三角形的中位線
1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

【典型例題】
類型一、平行四邊形的性質(zhì)
1（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，在中，?分別是和的角平分線，已知．
（1）求線段的長；
（2）延長，交的延長線于點(diǎn)Q．
①請?jiān)诖鹁砩涎a(bǔ)全圖形；
②若，求的周長．

【答案】（1）10；（2）①見解析；②36
【分析】
（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到DP＝AD＝5，CP＝BC＝5，進(jìn)而得出AB的長；
（2）①根據(jù)題意畫出圖形；
②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到AB＝QB，再根據(jù)BP平分∠ABQ，即可得出BP⊥AQ，AP＝QP，依據(jù)勾股定理得出AP的長，進(jìn)而得到△ABQ的周長．
【詳解】
解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，
∴BC＝5，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DPA，
∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴DP＝AD＝5，
同理可得，CP＝BC＝5，
∴CD＝10，
∴AB＝10；
（2）①如圖所示：

②∵AD∥BQ，
∴∠Q＝∠DAP，
又∵∠DAP＝∠BAP，
∴∠Q＝∠BAP，
∴AB＝QB＝10，
又∵BP平分∠ABQ，
∴BP⊥AQ，AP＝QP，
∴Rt△ABP中，AP==8，
∴AQ＝16，
∴△ABQ的周長為：16+10+10＝36．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題時注意：平行四邊形的對邊平行，對邊相等．
舉一反三：
【變式1】（2021·上海九年級專題練習(xí)）如圖，中，、是直線上兩點(diǎn)，且．
求證：（1）；
（2）．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）利用平行四邊形的性質(zhì)借助全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行線的判定方法得出即可．
證明：（1）四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△FAD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．
【變式2】 （2021·山東泰安市·九年級期末）如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，．
（1）求證：；
（2）求證：

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）先證明，，然后利用ASA證明：△BCE≌△ADF；
（2）根據(jù)點(diǎn)E在內(nèi)部，可知：S△BEC+S△AED=S?ABCD，可得結(jié)論．
【詳解】
解：四邊形是平行四邊形，
，




同理得

點(diǎn)在內(nèi)部，
∴，
由知：

∴．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用三角形和平行四邊形邊的關(guān)系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．
類型二、平行四邊形的判定
2（2020·浙江杭州市·八年級期中）如圖，在四邊形中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動點(diǎn)（與，不重合），連接并延長交的延長線于．
（1）試說明不管點(diǎn)在何位置，四邊形始終是平行四邊形．
（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)，之間運(yùn)動到什么位置時，四邊形是平行四邊形？并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）PC=2時
【分析】
（1）由“ASA”可證△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得結(jié)論；
（2）得出P在B、C之間運(yùn)動的位置，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠QDM=∠PCM，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ=PC，
∵AD∥BC，
∴四邊形PCQD是平行四邊形，
∴不管點(diǎn)P在何位置，四邊形PCQD始終是平行四邊形；
（2）當(dāng)四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，
∴9-CP=5+CP，
∴CP=（9-5）÷2=2．
∴當(dāng)PC=2時，四邊形ABPQ是平行四邊形．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】 （2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接CE并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，連接AC，DF．
（1）求證：AEF≌DEC；
（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得就愛∠FAE=∠CDE，利用ASA即可證明△AEF≌△DEC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=DC，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論．
解：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四邊形ACDF是平行四邊形．
【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊互相平行；有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．
【變式】 （2021·山東煙臺市·八年級期末）在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時，如圖①，求證：．
（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時，如圖②，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____，為什么？
（3）當(dāng)點(diǎn)在邊的反向延長線上時，如圖③，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是____（不需要證明）．

【答案】）（1）見解析；（2），見解析；（3）
【分析】
（1）證明四邊形AFDE是平行四邊形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可證得；
（2）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，在圖②中，，證明方法類似（1）；
（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時，在圖③中，．證明方法類似（1）．
證明：（1）∵，．
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．

（2）．
理由：∵，，
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．

（3）

理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
類型三、三角形的中位線
3 （2021·山東煙臺市·八年級期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．求證：．

【答案】見解析
【分析】
取的中點(diǎn)，連接，則DM是△ABF的中位線，利用中位線定理結(jié)合全等三角形的判定即可證得．
證明：取的中點(diǎn)，連接，
∵是邊的中線，
∴是邊的中點(diǎn)，
∴，
．
∴，．
∵是的中點(diǎn)，
∴，
在△MDE和△FCE中，
∴．
∴，
∴．

【點(diǎn)撥】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
【變式】 （2021·山東淄博市·八年級期末）如圖，在中，，中線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：，；
（2）若，，求四邊形的面積．

【答案】（1）見解析；（2）2
【分析】
（1）利用中位線性質(zhì)可得，．，．可證四邊形是平行四邊形．由平行四邊形性質(zhì)可得，．
（2）由和，可推得．求由點(diǎn)是中點(diǎn)，．由三等分可求．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得四邊形的面積．
（1）證明：∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，．
∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，．
∴，．
∴四邊形是平行四邊形．
∴，；
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∵，
∵點(diǎn)是中點(diǎn)，
∴．
∴．
∴四邊形的面積．
【點(diǎn)撥】本題考查中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，掌握中位線性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中線的性質(zhì)，注意中線與中位線的區(qū)別以及它們性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
類型四、多邊形的內(nèi)角和與外角和

4（2021·江西贛州市·八年級期末）（1）如圖1，在△ABC中，已知OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．

?①若∠A=50o，則∠O=______，∠P=______；
?②若∠A=α，則∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，請?zhí)骄俊螾與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在六邊形ABCDEF中，CP，DP分別平分外角∠GCD，∠HDC，請直接寫出∠P與∠A，∠B，∠E，∠F的數(shù)量關(guān)系______．
【答案】（1）①115o；65o；②，；（2） ，理由見解析?；（3）
【分析】（1）①由OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，可得∠ABO=，∠ACO=，由外角推出∠O=90°+=115°，由BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，可得∠DBP=，∠ECP=，可推求出，即可，②由①得∠O=90°+， ，把∠A=α 代入可得∠O=90°+，；
（2）由BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，可得∠CBP=；∠BCP=，推出 ；
（3）延長CB，DE交直線AF與M、N如圖，由（2）得，由外角可求∠M=∠FAB+∠CBA-180o，∠N=∠EFA+∠DEF-180o，可求∠M+∠N=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360o，即可推出結(jié)論．
解：（1）①連結(jié)AO并延長到Q，連結(jié)PA
∵OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=；∠ACO=，
∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠QOC=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BAC++，
=∠A++，
=∠A+180°- ，
=90°+，
=115°，

BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，
∴∠DBP=；∠ECP=，
∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，
∴，
∴，
∴90o+，
∴，
故答案為：115o；65o；
②由①得∠O=90°+， ，
∵∠A=α，
∴∠O=90°+，，
故答案為：∠O=90°+，，
解：，
理由如下：
在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠CBP=；∠BCP=，
，
，
，
，
；
（3）延長CB，DE交直線AF與M、N如圖，
由（2）得，
∴∠M=∠FAB+∠CBA-180o，∠N=∠EFA+∠DEF-180o，
∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180o+∠EFA+∠DEF-180o=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360o，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)撥】
本題考查兩內(nèi)角平分線夾角的性質(zhì)，與兩外角平分線夾角性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和公式，外角與內(nèi)角關(guān)系是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】（2020·湖北黃岡市·思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考）如圖1，已知是的一個外角，我們?nèi)菀鬃C明，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
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（1）如圖2，與分別為的兩個外角，則_______（橫線上填“>”、“

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